Složený výrok slovy — ze symbolů do věty a zpět

Kamarádka ti večer napíše: „Jestli nestihnu autobus, tak nepřijdu.“ Ráno autobus stihne. Přijde? Možná ano, možná ne. Ta zpráva ti to vlastně vůbec neslíbila.

Běžná řeč je plná takových vět. Často si do nich domyslíme víc, než v nich je. Matematika proto používá zkratky: písmena pro jednoduché věty a znaky pro spojky. Zpráva kamarádky by vypadala třeba takhle: S′ ⇒ P′ (S: stihnu autobus, P: přijdu).

Vypadá to jako šifra. Je to ale jen obyčejná věta zapsaná nakrátko. V tomhle článku se naučíš překládat oběma směry: ze symbolů do věty a z věty do symbolů.

---

Obsah

• Výroky v příkladu
• Jak číst spojky
• Ze symbolů do slov
• Pozor na záporné věty
• Závorky a „není pravda, že“
• Ze slov do symbolů
• Zkus si sám
• Nejčastější chyby
• Ve zkratce
• Řešení
• Procvič si

---

Výroky v příkladu

Představ si, že sedíš v restauraci a vybíráš, co si dáš. Většina článku bude stát na těchto čtyřech výrocích:

⚠️ B a C jsou schválně záporné věty. Právě na nich se dělá nejvíc chyb. Zapamatuj si to, ještě se k tomu vrátíme.

---

Jak číst spojky

Každý znak má své „slovo“. Když ho znáš, překlad je už jen dosazování.

💡 U implikace záleží na směru šipky. Co je před šipkou, jde za „jestliže“. Co je za šipkou, jde za „pak“. Šipka ukazuje od podmínky k důsledku.

💡 Znak ∨ připomíná písmeno v. Pomůcka: v jako „vyber si“ — tedy „nebo“.

---

Ze symbolů do slov

Postup je pořád stejný:

1. Podívej se, která spojka je „hlavní“ (ta, která drží celou formuli).
2. Za každé písmeno dosaď jeho větu. Má-li čárku, dosaď opačnou větu.
3. Spoj části slovy spojky.

Řešený příklad 1: C ⇒ B

• Hlavní spojka je ⇒, tedy „jestliže …, pak …“.
• Před šipkou je C: „nevypiju kávu“.
• Za šipkou je B: „nesním kachnu“.

Jestliže nevypiju kávu, pak nesním kachnu.

Dvě záporné věty za sebou znějí trochu divně. Nevadí — logika nehledá hezký styl, ale přesný význam.

Řešený příklad 2: C′ ∨ A

• Hlavní spojka je ∨, tedy „nebo“.
• C je „nevypiju kávu“. Čárka ji otočí: C′ je „vypiju kávu“.
• A je „sním kuře“.

Vypiju kávu nebo sním kuře.

💡 V logice „nebo“ připouští i obě možnosti zároveň. Když vypiješ kávu i sníš kuře, věta pořád platí.

Řešený příklad 3: A ∧ D′

• Hlavní spojka je ∧, tedy „a“.
• D je „sním zákusek“, takže D′ je „nesním zákusek“.

Sním kuře a nesním zákusek.

---

Pozor na záporné věty

Tohle je nejčastější past celého tématu. Když je výrok sám záporný, jeho negace je kladná věta.

Funguje to jako vypínač. Čárka přepne větu do opačné polohy. Bylo-li tam „ne“, přepne ji na „ano“.

Řešený příklad 4: B′ ⇒ C′

• B′: B je „nesním kachnu“, takže B′ je „sním kachnu“.
• C′: C je „nevypiju kávu“, takže C′ je „vypiju kávu“.

Jestliže sním kachnu, pak vypiju kávu.

Formule má dvě čárky, a přesto ve větě není ani jedno „ne“.

⚠️ U B′ nepiš znovu „nesním kachnu“. Čárka vždy otočí význam, i když věta už „ne“ obsahuje.

---

Závorky a „není pravda, že“

Když jsou ve formuli tři výroky, závorky ukazují, co patří k sobě. Je to jako v počítání: (2 + 3) · 4 není totéž co 2 + 3 · 4.

U (A ∧ D) ⇒ C závorka říká: podmínkou jsou obě jídla zároveň. Teprve když sníš kuře i zákusek, platí slib o kávě.

Čárka za celou závorkou se čte „není pravda, že …“.

Řešený příklad 5: (A ∧ D)′

• Uvnitř závorky je A ∧ D: „sním kuře a sním zákusek“.
• Čárka za závorkou neguje celou tuto větu.

Není pravda, že sním kuře a sním zákusek.

Co to znamená? Obě jídla zároveň nesníš. Možná sníš jen kuře, možná jen zákusek, možná nic.

⚠️ To není totéž jako A′ ∧ D′ („nesním kuře a nesním zákusek“). Ta věta tvrdí, že nesníš ani jedno. Proč je v tom rozdíl, vysvětluje článek Negace výroků a kvantifikátory.

---

Ze slov do symbolů

Teď opačný směr. Nejdřív v textu najdi spojky. Pak zjisti, které jednoduché věty spojují.

💡 „Ale“ zní jako protiklad, v logice ale znamená totéž co „a“. Obě části musí platit.

Řešený příklad 6: SMS z restaurace

Kamarád píše: „Kachnu si dám, ale kafe ne.“ Použij naše výroky A až D.

• „Kachnu si dám“ = sním kachnu. To je opak B („nesním kachnu“), tedy B′.
• „Kafe ne“ = nevypiju kávu. To je přesně C.
• „Ale“ je ∧.

B′ ∧ C

Řešený příklad 7: školní pravidlo

Ve školním řádu stojí: „Jestliže nemáš přezůvky, pak nesmíš do třídy.“

Nejdřív si zvol výroky. Lepší je volit je kladné:

• P: máš přezůvky
• T: smíš do třídy

„Nemáš přezůvky“ je P′. „Nesmíš do třídy“ je T′.

P′ ⇒ T′

Řešený příklad 8: víkendový plán

Kamarádka píše: „Půjdu s vámi do kina, jestli dopíšu úkol.“

• K: půjdu do kina
• U: dopíšu úkol

Pozor, podmínka je na konci věty! Podmínka je to, co následuje za „jestli“. To je U.

U ⇒ K

⚠️ Při překladu do symbolů nerozhoduje pořadí slov ve větě. Rozhoduje, co je podmínka (jde před šipku) a co je důsledek (jde za šipku).

Řešený příklad 9: „není pravda, že“

„Není pravda, že vypiju kávu nebo sním kachnu.“

• „vypiju kávu“ = C′
• „sním kachnu“ = B′
• Uvnitř je „nebo“, celé je pod „není pravda, že“.

(C′ ∨ B′)′

---

Zkus si sám

Používej výroky A až D z restaurace, pokud není napsáno jinak.

1. Přepiš slovy: B′ ∧ D
2. Přepiš slovy: D ⇒ C′
3. Přepiš slovy: (A ∨ B)′
4. Zapiš symboly: „Jestliže sním kachnu, pak nesním zákusek.“
5. Zapiš symboly: „Nesním kuře, ale vypiju kávu.“
6. Zapiš symboly s výroky K: půjdu na koncert, L: našetřím peníze: „Půjdu na koncert, jestli našetřím peníze.“

Řešení najdeš na konci článku.

---

Nejčastější chyby

• Otočená implikace. C ⇒ B není „jestliže nesním kachnu, pak nevypiju kávu“. To je obrácená implikace — více v článku Implikace, obrácená implikace a obměna.
• Dvojitý zápor. B′ u B = „nesním kachnu“ je „sním kachnu“, ne „nesním kachnu“.
• „A“ místo „nebo“. Znak ∨ připomíná písmeno v, ale znamená „nebo“.
• Přehlédnutá čárka. Čárka u písmene se snadno přehlédne, a přitom mění celý význam.
• Podmínka na konci věty. „Půjdu do kina, jestli dopíšu úkol“ je U ⇒ K, ne K ⇒ U.
• Čárka za závorkou rozdělená na písmena. (A ∧ D)′ není A′ ∧ D′.

---

Ve zkratce

• Formule je jen zkratka věty: písmeno = jednoduchá věta, znak = spojka.
• ∧ je „a“, ∨ je „nebo“, ⇒ je „jestliže …, pak …“, ⇔ je „právě tehdy, když“.
• Čárka otočí větu. Ze záporné věty (B: nesním kachnu) vznikne kladná (B′: sním kachnu).
• Čárka za závorkou se čte „není pravda, že …“ a patří celé závorce.
• U implikace jde podmínka před šipku, i když je ve větě až na konci.

---

Řešení

1. Sním kachnu a sním zákusek.
2. Jestliže sním zákusek, pak vypiju kávu.
3. Není pravda, že sním kuře nebo nesním kachnu.
4. B′ ⇒ D′
5. A′ ∧ C′
6. L ⇒ K

---

Procvič si

• ✏️ Složený výrok slovy
• 🧮 Pravdivost složeného výroku

👉 Další článek: Tautologie a kontradikce