Usměrňování zlomků

Usměrňování zlomků

Kolik je 1/√2? Kdybys měl počítat ručně, musel bys dělit číslem 1,414 21… — nepříjemné. Jenže 1/√2 je totéž co √2/2, a to je jednoduše polovina z 1,414 21…, tedy 0,707 1…

Přepsat zlomek tak, aby ve jmenovateli nebyla odmocnina, se nazývá usměrňování zlomku. Výsledek se pak snadněji odhaduje, porovnává i sčítá s dalšími odmocninami.

Obsah

Hlavní myšlenka: rozšíření zlomku

Zlomek se nezmění, když čitatele i jmenovatele vynásobíme stejným číslem (rozšíříme ho). Například 1/2 = 3/6.

Rozšíříme ho takovým číslem, aby odmocnina ve jmenovateli zmizela. Pomohou nám dvě pravidla z článku Násobení a dělení odmocnin:

  • √a · √a = a
  • (√a + b)(√a − b) = a − b²

Jedna odmocnina ve jmenovateli

Zlomek rozšíříme stejnou odmocninou, jaká je ve jmenovateli.

Řešený příklad 1

1/√2

  1. Rozšíříme √2: (1 · √2)/(√2 · √2).
  2. √2 · √2 = 2.
  3. 1/√2 = √2/2.

Řešený příklad 2

6/√3

  1. Rozšíříme √3: 6√3/(√3 · √3) = 6√3/3.
  2. Zkrátíme 6 a 3: 2√3.

Číslo před odmocninou a odmocnina v čitateli

Řešený příklad 3

10/(3√5)

  1. Rozšíříme √5 (trojku necháme): 10√5/(3 · 5) = 10√5/15.
  2. Zkrátíme 10 a 15 číslem 5: 2√5/3.

Řešený příklad 4

√3/√8

  1. Rozšíříme √8: √3 · √8/8 = √24/8.
  2. √24 = 2√6, tedy 2√6/8.
  3. Zkrátíme: √6/4.

💡 Rychleji: nejdřív zjednoduš jmenovatele. √8 = 2√2, takže stačí rozšířit √2: √3/(2√2) = √6/(2 · 2) = √6/4.

Dvojčlen ve jmenovateli

Když je ve jmenovateli součet nebo rozdíl, například √5 − √2, rozšíření √5 nepomůže. Rozšíříme ho stejným dvojčlenem s opačným znaménkem uprostřed — √5 + √2. Ve jmenovateli pak vznikne (a − b)(a + b) = a² − b² a odmocniny zmizí.

Řešený příklad 5

1/(√5 − √2)

  1. Rozšíříme (√5 + √2).
  2. Jmenovatel: (√5 − √2)(√5 + √2) = (√5)² − (√2)² = 5 − 2 = 3.
  3. Čitatel: 1 · (√5 + √2) = √5 + √2.
  4. 1/(√5 − √2) = (√5 + √2)/3.

Řešený příklad 6

3/(√7 + 2)

  1. Rozšíříme (√7 − 2).
  2. Jmenovatel: (√7)² − 2² = 7 − 4 = 3.
  3. Čitatel: 3(√7 − 2).
  4. 3(√7 − 2)/3 = √7 − 2.

Zkouška kalkulačkou: 3/(2,646 + 2) ≈ 0,646 a √7 − 2 ≈ 0,646 ✓.

Nejčastější chyby

  • Rozšířený jen jmenovatel. 1/√2 není 1/2. Rozšiřuje se vždy čitatel i jmenovatel.
  • U dvojčlenu rozšíření jednou odmocninou. 1/(√5 − √2) rozšířené √5 dá (√5)/(5 − √10) — odmocnina ve jmenovateli zůstala.
  • Stejné znaménko místo opačného. (√5 − √2)(√5 − √2) = 7 − 2√10, odmocnina nezmizela.
  • Nezkrácený výsledek. 6√3/3 je potřeba dokončit na 2√3.

Ve zkratce

  • Usměrnit zlomek = odstranit odmocninu ze jmenovatele.
  • Jednu odmocninu √a ve jmenovateli odstraň rozšířením √a.
  • Dvojčlen √a − b rozšiř výrazem √a + b (a naopak); použije se vzorec (x − y)(x + y) = x² − y².
  • Na konci zkrať.

Zkus si sám

  1. 4/√2
  2. 5/(2√10)
  3. 2/(√3 + 1)
  4. 4/(√6 − √2)
Řešení:
  1. 4√2/2 = 2√2.
  2. 5√10/20 = √10/4.
  3. 2(√3 − 1)/(3 − 1) = √3 − 1.
  4. 4(√6 + √2)/(6 − 2) = √6 + √2.

Procvič si

👉 Další článek: Mocniny s racionálním exponentem