Sčítání a odčítání odmocnin

Sčítání a odčítání odmocnin

V košíku jsou 3 jablka, přidáme 5 jablek — máme 8 jablek. Když ale přidáme 5 hrušek, nebude to 8 jablek ani 8 hrušek — zůstanou 3 jablka a 5 hrušek.

S odmocninami je to stejné. 3√2 + 5√2 = 8√2, protože sčítáme stejné „věci“ — odmocniny ze dvou. Ale √2 + √3 se jedním číslem zapsat nedá.

Obsah

Stejné odmocniny

Členy se stejnou odmocninou sloučíme tak, že sečteme nebo odečteme čísla před nimi. Odmocnina zůstane stejná.

a√r + b√r = (a + b)√r

Samotné √2 znamená 1 · √2 — jednička se nepíše.

Řešený příklad 1

3√2 + 5√2 − √2

  1. Všechny členy mají √2.
  2. Čísla před odmocninou: 3 + 5 − 1 = 7.
  3. 3√2 + 5√2 − √2 = 7√2.

Nejdřív částečně odmocni

Odmocniny, které vypadají různě, mohou být po částečném odmocnění stejné.

Řešený příklad 2

√12 + √27

  1. √12 = √(4 · 3) = 2√3.
  2. √27 = √(9 · 3) = 3√3.
  3. 2√3 + 3√3 = 5√3.

Řešený příklad 3

√50 − √18

  1. √50 = √(25 · 2) = 5√2.
  2. √18 = √(9 · 2) = 3√2.
  3. 5√2 − 3√2 = 2√2.

Více členů a čísla před odmocninou

Když je před odmocninou číslo, vynásobíme jím to, co z odmocniny vytkneme.

Řešený příklad 4

2√48 − 3√12 + √3

  1. 2√48 = 2 · √(16 · 3) = 2 · 4√3 = 8√3.
  2. 3√12 = 3 · √(4 · 3) = 3 · 2√3 = 6√3.
  3. 8√3 − 6√3 + √3 = (8 − 6 + 1)√3 = 3√3.

Řešený příklad 5

√8 + √12 − √18

  1. √8 = 2√2, √12 = 2√3, √18 = 3√2.
  2. 2√2 + 2√3 − 3√2 = −√2 + 2√3.
  3. Odmocniny √2 a √3 jsou různé, dál se sloučit nedají. Výsledek: 2√3 − √2.

Třetí odmocniny

Postup je stejný, jen při částečném odmocňování hledáme třetí mocniny (8, 27, 64, 125…).

Řešený příklad 6

∛16 + ∛54

  1. ∛16 = ∛(8 · 2) = 2∛2.
  2. ∛54 = ∛(27 · 2) = 3∛2.
  3. 2∛2 + 3∛2 = 5∛2.

⚠️ Druhou a třetí odmocninu sloučit nelze: √2 + ∛2 zůstane tak, jak je.

Nejčastější chyby

  • Sčítání čísel pod odmocninou. √2 + √3 není √5. Zkouška: √2 + √3 ≈ 1,41 + 1,73 = 3,14, ale √5 ≈ 2,24.
  • Zapomenuté částečné odmocnění. √12 + √27 vypadá jako součet, který nejde sloučit, ale je to 5√3.
  • Zapomenutá jednička. 5√3 − √3 = 4√3, ne 5.
  • Zapomenuté číslo před odmocninou. 2√48 = 2 · 4√3 = 8√3, ne 4√3.

Ve zkratce

  • Sloučit se dají jen stejné odmocniny (stejný odmocnitel i odmocněnec).
  • a√r + b√r = (a + b)√r — sčítají se čísla před odmocninou.
  • Před sčítáním každou odmocninu částečně odmocni.
  • Členy s různými odmocninami nech vedle sebe.

Zkus si sám

  1. 4√5 − 7√5 + 2√5
  2. √20 + √45
  3. 3√8 − √32
  4. 2∛24 − ∛81
Řešení:
  1. (4 − 7 + 2)√5 = −√5.
  2. 2√5 + 3√5 = 5√5.
  3. 3 · 2√2 − 4√2 = 6√2 − 4√2 = 2√2.
  4. 2 · 2∛3 − 3∛3 = 4∛3 − 3∛3 = ∛3.

Procvič si

👉 Další článek: Násobení a dělení odmocnin