Mocniny s racionálním exponentem

Mocniny s racionálním exponentem

Víme, co je 2³ (2 · 2 · 2 = 8) i 2⁻¹ (1/2). Ale co znamená 9^(1/2) — „devět na jednu polovinu“? Devítku přece nejde vynásobit „napůl“.

Matematici se dohodli na takovém významu, aby zůstala v platnosti všechna známá pravidla pro mocniny. A vyšlo, že zlomek v exponentu je jiný zápis odmocniny: 9^(1/2) = √9 = 3.

Obsah

Proč je zlomek v exponentu odmocnina

Při násobení mocnin se stejným základem se exponenty sčítají: aʳ · aˢ = a^(r + s). Má-li to platit i pro poloviny, musí být

9^(1/2) · 9^(1/2) = 9^(1/2 + 1/2) = 9¹ = 9.

Hledáme tedy kladné číslo, které vynásobené samo sebou dá 9. To je přesně √9 = 3. Podobně 8^(1/3) · 8^(1/3) · 8^(1/3) = 8, proto 8^(1/3) = ∛8 = 2.

Obecné pravidlo

Pro a > 0 a přirozená čísla m, n platí:

a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) = (ⁿ√a)ᵐ

Čteme: „a na m n-tin je n-tá odmocnina z a na m-tou“.

  • Jmenovatel n říká, kolikátá je odmocnina.
  • Čitatel m říká, na kolikátou umocňujeme.

Například a^(1/2) = √a, a^(1/3) = ∛a, a^(3/4) = ∜(a³).

Výpočet hodnoty

💡 Při výpočtu je výhodnější nejdřív odmocnit, potom umocnit — čísla zůstanou malá.

Řešený příklad 1

8^(2/3)

  1. Jmenovatel 3 — třetí odmocnina: ∛8 = 2.
  2. Čitatel 2 — na druhou: 2² = 4.
  3. 8^(2/3) = 4.

Řešený příklad 2

32^(2/5)

  1. ⁵√32 = 2, protože 2⁵ = 32.
  2. 2² = 4.

Řešený příklad 3

36^(3/2)

  1. √36 = 6.
  2. 6³ = 216.

Záporný exponent a zlomek v základu

Záporný exponent znamená převrácenou hodnotu: a⁻ʳ = 1/aʳ.

Řešený příklad 4

16^(−3/4)

  1. 16^(−3/4) = 1/16^(3/4).
  2. ∜16 = 2 a 2³ = 8.
  3. 16^(−3/4) = 1/8.

Řešený příklad 5

(4/9)^(3/2)

  1. Odmocníme čitatele i jmenovatele: √4 = 2, √9 = 3.
  2. (2/3)³ = 8/27.

Řešený příklad 6

(1/8)^(−2/3)

  1. Záporný exponent zlomek převrátí: (1/8)^(−2/3) = 8^(2/3).
  2. 8^(2/3) = 4 (viz příklad 1).

Přepis odmocniny na mocninu

Pravidlo funguje i obráceně: odmocninu přepíšeme na mocninu se zlomkem v exponentu. Předpokládáme a > 0.

Odmocnina√a∛(a²)⁵√(a³)1/√a1/∛(a²)
Mocninaa^(1/2)a^(2/3)a^(3/5)a^(−1/2)a^(−2/3)

Počítání s mocninami

Platí stejná pravidla jako u celých exponentů:

PravidloPříklad
aʳ · aˢ = a^(r + s)a^(1/2) · a^(1/3) = a^(5/6)
aʳ : aˢ = a^(r − s)a^(5/4) : a^(1/2) = a^(3/4)
(aʳ)ˢ = a^(r · s)(a^(2/3))^(3/4) = a^(1/2)

Řešený příklad 7

√a · ∛a

  1. Přepis na mocniny: a^(1/2) · a^(1/3).
  2. Exponenty sečteme: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.
  3. √a · ∛a = a^(5/6) = ⁶√(a⁵).

Řešený příklad 8

√(a · ∛a)

  1. Uvnitř: a · ∛a = a¹ · a^(1/3) = a^(4/3).
  2. Druhá odmocnina = exponent 1/2: (a^(4/3))^(1/2) = a^(4/3 · 1/2) = a^(2/3).
  3. √(a · ∛a) = a^(2/3).

Nejčastější chyby

  • Zlomek v exponentu jako násobení. 8^(2/3) není 8 · 2/3. Správně je (∛8)² = 4.
  • Prohozený čitatel a jmenovatel. ∛(a²) = a^(2/3), ne a^(3/2). Odmocnitel jde do jmenovatele.
  • Záporný exponent jako záporné číslo. 16^(−3/4) = 1/8, ne −8.
  • Špatné sčítání zlomků. 1/2 + 1/3 není 2/5, ale 5/6.

Ve zkratce

  • a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ): jmenovatel = kolikátá odmocnina, čitatel = na kolikátou.
  • Při výpočtu nejdřív odmocni, potom umocni.
  • Záporný exponent znamená převrácenou hodnotu.
  • Součin mocnin: exponenty sečti, podíl: odečti, mocnina mocniny: vynásob.

Zkus si sám

  1. 27^(2/3)
  2. 25^(−1/2)
  3. Zapiš jako mocninu: ∜(a³)
  4. a^(3/4) · a^(1/2)
  5. ∛(a²) : √a
Řešení:
  1. ∛27 = 3, 3² = 9.
  2. 1/√25 = 1/5.
  3. a^(3/4).
  4. a^(3/4 + 2/4) = a^(5/4).
  5. a^(2/3 − 1/2) = a^(4/6 − 3/6) = a^(1/6).

Procvič si

👉 Zpět na začátek: Částečné odmocňování