Násobení a dělení odmocnin

Násobení a dělení odmocnin

Kolik je √2 · √8? Kalkulačka ukáže 1,414… · 2,828… = 4. Ze dvou „nekonečných“ čísel vyšlo celé číslo. Není to náhoda: √2 · √8 = √16 = 4.

Při násobení se odmocniny chovají mnohem přátelštěji než při sčítání — násobit se dají vždy, i když jsou pod nimi různá čísla.

Obsah

Násobení odmocnin

√a · √b = √(a · b) (pro a ≥ 0, b ≥ 0)

Odmocniny vynásobíme tak, že vynásobíme čísla pod nimi. Výsledek pak částečně odmocníme.

Řešený příklad 1

√10 · √2

  1. √10 · √2 = √20.
  2. √20 = √(4 · 5) = 2√5.

Řešený příklad 2

√3 · √12

  1. √3 · √12 = √36 = 6.

Odmocnina vynásobená sama sebou dá číslo pod ní: √a · √a = a. Například √7 · √7 = 7.

Dělení odmocnin

√a : √b = √(a : b) (pro a ≥ 0, b > 0)

Řešený příklad 3

√80 : √5

  1. √80 : √5 = √(80 : 5) = √16 = 4.

Řešený příklad 4

√54 : √3

  1. √(54 : 3) = √18 = 3√2.

Čísla před odmocninou

Čísla před odmocninou násobíme spolu, odmocniny spolu.

Řešený příklad 5

2√6 · 3√10

  1. 2 · 3 = 6 a √6 · √10 = √60.
  2. √60 = √(4 · 15) = 2√15.
  3. 6 · 2√15 = 12√15.

Roznásobení závorky

Odmocninou před závorkou vynásobíme každý člen v závorce — stejně jako u výrazů a(b + c) = ab + ac.

Řešený příklad 6

√5 · (√20 − 3)

  1. √5 · √20 = √100 = 10.
  2. √5 · 3 = 3√5.
  3. Výsledek: 10 − 3√5.

Výsledek má dvě části: číslo bez odmocniny (10) a násobek odmocniny (−3√5). Dál se sloučit nedají, stejně jako 10 jablek a 3 hrušky. Takový výsledek zapisujeme ve tvaru p + q√r.

Vzorce s odmocninami

Platí známé vzorce:

  • (a + b)(a − b) = a² − b²
  • (a + b)² = a² + 2ab + b²
  • (a − b)² = a² − 2ab + b²

Řešený příklad 7

(√3 + 5)(√3 − 5)

  1. Podle vzorce: (√3)² − 5².
  2. (√3)² = 3 a 5² = 25.
  3. 3 − 25 = −22.

Odmocnina zmizela — tento trik využijeme při usměrňování zlomků.

Řešený příklad 8

(√2 + √3)²

  1. a = √2, b = √3: a² = 2, b² = 3, 2ab = 2√6.
  2. 2 + 2√6 + 3 = 5 + 2√6.

Řešený příklad 9

(2 + √3)(1 − √3)

Roznásobíme „každý s každým“:

  1. 2 · 1 = 2
  2. 2 · (−√3) = −2√3
  3. √3 · 1 = √3
  4. √3 · (−√3) = −3
  5. Celkem: 2 − 2√3 + √3 − 3 = −1 − √3.

Nejčastější chyby

  • (√2 + √3)² = 2 + 3. Chybí prostřední člen 2ab = 2√6. Správně je 5 + 2√6.
  • 2√3 · 4√3 = 8√3. Odmocniny se také násobí: √3 · √3 = 3, tedy 2√3 · 4√3 = 8 · 3 = 24.
  • Nezjednodušený výsledek. √10 · √2 = √20 je potřeba dokončit na 2√5.
  • (√a)² zapsané jako 2√a. Druhá mocnina odmocniny dá číslo pod ní: (√7)² = 7.

Ve zkratce

  • √a · √b = √(ab), √a : √b = √(a : b), √a · √a = a.
  • Čísla před odmocninou násob zvlášť, odmocniny zvlášť; výsledek částečně odmocni.
  • Závorky roznásob jako u výrazů, nebo použij vzorce.
  • Výsledek zapisuj ve tvaru p + q√r.

Zkus si sám

  1. √6 · √15
  2. √98 : √2
  3. √2 · (√18 + 4)
  4. (√7 − 2)(√7 + 2)
  5. (√5 − 1)²
Řešení:
  1. √90 = √(9 · 10) = 3√10.
  2. √49 = 7.
  3. √36 + 4√2 = 6 + 4√2.
  4. 7 − 4 = 3.
  5. 5 − 2√5 + 1 = 6 − 2√5.

Procvič si

👉 Další článek: Usměrňování zlomků