Čtvercová zahrádka má obsah 72 m². Jak dlouhá je její strana? Hledáme číslo, které po umocnění na druhou dá 72, tedy √72. Kalkulačka ukáže 8,485 2… — číslo, které nikdy neskončí. Přesně ho zapíšeme jen pomocí odmocniny.
Zápis √72 se ale dá zjednodušit na 6√2. Obě čísla jsou stejná, druhý zápis je jen kratší a lépe se s ním počítá. Tomuto postupu říkáme částečné odmocňování.
Druhá odmocnina z čísla a (čteme „odmocnina z a“, píšeme √a) je nezáporné číslo, které po umocnění na druhou dá a. Například √36 = 6, protože 6² = 36.
Třetí odmocnina z čísla a (čteme „třetí odmocnina z a“, píšeme ∛a) je číslo, které po umocnění na třetí dá a. Například ∛8 = 2, protože 2³ = 8.
Číslu pod odmocninou říkáme odmocněnec. Malé číslo vlevo nahoře u ∛ je odmocnitel — říká, kolikátá je to odmocnina. U druhé odmocniny dvojku nepíšeme.
Vyplatí se znát druhé a třetí mocniny malých čísel:
Když tedy číslo pod odmocninou rozložíme na součin, ve kterém je jeden činitel druhou mocninou (čtvercem) celého čísla, tento čtverec umíme odmocnit a dostat ho před odmocninu.
Postup krok za krokem
Řešený příklad 1
√72
Hledáme největší čtverec, který dělí 72. Zkoušíme od větších: 64 ne, 49 ne, 36 ano — 72 = 36 · 2.
√72 = √(36 · 2) = √36 · √2.
√36 = 6, proto √72 = 6√2.
Zápis 6√2 čteme „šest odmocnin ze dvou“ — znamená 6 · √2.
Řešený příklad 2
√180
180 = 36 · 5.
√180 = √36 · √5 = 6√5.
Jak najít největší čtverec
Když ho nevidíš hned, rozlož číslo na prvočísla a hledej dvojice: 180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5. Z každé dvojice jde před odmocninu jedno číslo: 2 · 3 = 6. Pod odmocninou zůstane to, co nemá pár: 5. Tedy √180 = 6√5.
💡 Nevadí, když nejdřív vytkneš menší čtverec: √72 = √(4 · 18) = 2√18. Jenže 18 = 9 · 2 ještě obsahuje čtverec, takže pokračuješ: 2√18 = 2 · 3√2 = 6√2. Hotovo je teprve tehdy, když pod odmocninou nezůstane žádný čtverec kromě 1.
Číslo před odmocninou
Pokud už před odmocninou nějaké číslo je, vynásobíme ho tím, co vytkneme.
Řešený příklad 3
3√50
50 = 25 · 2, proto √50 = 5√2.
3√50 = 3 · 5√2 = 15√2.
Třetí odmocnina
U třetí odmocniny hledáme místo čtverce krychli (třetí mocninu): 8, 27, 64, 125…
∛(a · b) = ∛a · ∛b
Řešený příklad 4
∛54
54 = 27 · 2 a 27 = 3³.
∛54 = ∛27 · ∛2 = 3∛2.
Řešený příklad 5
∛250
250 = 125 · 2 a 125 = 5³.
∛250 = 5∛2.
⚠️ U třetí odmocniny nestačí čtverec. ∛72 = ∛(8 · 9) = 2∛9 — devítka pod třetí odmocninou zůstává, protože 9 není třetí mocnina.
Odmocniny s proměnnou
Proměnná se odmocňuje stejně. U druhé odmocniny hledáme sudé mocniny: a² = a · a, a⁴ = a² · a². Předpokládáme a ≥ 0, aby výrazy měly smysl (a odmocnina z a² byla opravdu a).
Řešený příklad 6
√(18a³), a ≥ 0
Číslo: 18 = 9 · 2.
Proměnná: a³ = a² · a.
√(18a³) = √(9a² · 2a) = √(9a²) · √(2a) = 3a√(2a).
Řešený příklad 7
∛(16b⁵)
16 = 8 · 2, b⁵ = b³ · b².
∛(16b⁵) = ∛(8b³) · ∛(2b²) = 2b∛(2b²).
Nejčastější chyby
Nedokončené odmocnění. √72 = 2√18 je správně, ale není to konec — 18 ještě obsahuje čtverec 9.
Odmocňování součtu po částech. √(9 + 16) není 3 + 4 = 7. Správně je √25 = 5. Pravidlo √(a · b) = √a · √b platí jen pro součin.
Vytknutý činitel zůstane i pod odmocninou. √(36 · 2) je 6√2, ne 6√72 ani 6√(36 · 2).
U třetí odmocniny čtverec. ∛18 se nedá zjednodušit pomocí 9 — hledáme třetí mocninu.
Ve zkratce
√(a · b) = √a · √b a ∛(a · b) = ∛a · ∛b.
Rozlož odmocněnec na součin se čtvercem (u ∛ s třetí mocninou), ten odmocni a napiš před odmocninu.
Číslo, které už před odmocninou je, vynásob tím, co vytkneš.
Hotovo je, když pod odmocninou nezůstane žádný čtverec (u ∛ třetí mocnina) kromě 1.
