Převedení čísla pod odmocninu a porovnávání odmocnin

Převedení čísla pod odmocninu a porovnávání odmocnin

Které číslo je větší: 2√7, nebo 3√3? Na první pohled má první menší číslo před odmocninou, ale větší pod ní. Bez kalkulačky to rozhodneme jednoduchým trikem — obě čísla přepíšeme tak, aby byla celá pod odmocninou.

Tento krok je opakem částečného odmocňování a říká se mu převedení (vložení) čísla pod odmocninu.

Obsah

Hlavní myšlenka

Každé nezáporné číslo se dá zapsat jako odmocnina ze své druhé mocniny: 3 = √9, protože 3² = 9. Proto:

a√b = √(a² · b) (pro a ≥ 0, b ≥ 0)

Číslo před odmocninou umocníme na druhou a vynásobíme jím číslo pod odmocninou.

U třetí odmocniny umocňujeme na třetí: a∛b = ∛(a³ · b).

Druhá odmocnina

Řešený příklad 1

3√2

  1. 3 = √9.
  2. 3√2 = √9 · √2 = √(9 · 2) = √18.

Zkouška částečným odmocněním: √18 = √(9 · 2) = 3√2 ✓.

Řešený příklad 2

5√3

  1. 5² = 25.
  2. 5√3 = √(25 · 3) = √75.

Třetí a čtvrtá odmocnina

Řešený příklad 3

2∛5

  1. U třetí odmocniny umocníme na třetí: 2³ = 8.
  2. 2∛5 = ∛(8 · 5) = ∛40.

Řešený příklad 4

3∜2 (čtvrtá odmocnina — umocňujeme na čtvrtou)

  1. 3⁴ = 81.
  2. 3∜2 = ∜(81 · 2) = ∜162.

Porovnávání odmocnin

Druhá odmocnina roste: čím větší číslo pod ní, tím větší odmocnina. Proto stačí obě čísla převést pod odmocninu a porovnat čísla pod ní.

Řešený příklad 5

2√7 a 3√3

  1. 2√7 = √(4 · 7) = √28.
  2. 3√3 = √(9 · 3) = √27.
  3. 28 > 27, proto 2√7 > 3√3.

Kalkulačka to potvrdí: 2√7 ≈ 5,29 a 3√3 ≈ 5,20.

Řešený příklad 6

3√5 a 7

  1. 3√5 = √45.
  2. 7 = √49.
  3. 45 < 49, proto 3√5 < 7.

Řešený příklad 7

2√18 a 3√8

  1. 2√18 = √(4 · 18) = √72.
  2. 3√8 = √(9 · 8) = √72.
  3. Obě čísla jsou stejná: 2√18 = 3√8. (Po částečném odmocnění jsou obě 6√2.)

Řešený příklad 8

3∛2 a 2∛6

  1. 3∛2 = ∛(27 · 2) = ∛54.
  2. 2∛6 = ∛(8 · 6) = ∛48.
  3. 54 > 48, proto 3∛2 > 2∛6.

Nejčastější chyby

  • Číslo se neumocní. 3√2 není √6. Trojka jde pod odmocninu jako 3² = 9, tedy √18.
  • U třetí odmocniny na druhou. 2∛5 není ∛20. Správně je 2³ · 5 = 40, tedy ∛40.
  • Porovnání jen podle čísla před odmocninou. 3√3 má vpředu větší číslo než 2√7, a přesto je menší.
  • Porovnávání různých odmocnin. √28 a ∛28 se takto porovnat nedají — obě čísla musí jít pod stejnou odmocninu.

Ve zkratce

  • a√b = √(a²b), a∛b = ∛(a³b).
  • Převedení pod odmocninu je opak částečného odmocňování.
  • Dvě odmocniny porovnáš tak, že obě přepíšeš na jednu odmocninu a porovnáš čísla pod nimi.
  • I celé číslo se dá zapsat jako odmocnina: 7 = √49.

Zkus si sám

  1. Převeď pod odmocninu: 4√3
  2. Převeď pod odmocninu: 3∛4
  3. Porovnej 5√2 a 4√3.
  4. Porovnej 2√11 a 7.
Řešení:
  1. 4√3 = √(16 · 3) = √48.
  2. 3∛4 = ∛(27 · 4) = ∛108.
  3. 5√2 = √50 a 4√3 = √48, proto 5√2 > 4√3.
  4. 2√11 = √44 a 7 = √49, proto 2√11 < 7.

Procvič si

👉 Další článek: Sčítání a odčítání odmocnin