Vzorec Pytagorovej vety

Pytagorova veta sa dá zapísať jedinou rovnicou, no z nej vyplýva niekoľko praktických tvarov, ktoré sa hodia v rôznych situáciách. V tomto článku ti ich všetky prejdeme.

Obsah článku

Základný vzorec
Vzorec pre preponu
Vzorec pre odvesnu
Prečo druhá mocnina
Zhrnutie vzorcov

Základný vzorec

V pravouhlom trojuholníku označme:

$a$ , $b$ – odvesny (strany priliehajúce k pravému uhlu)
$c$ – prepona (strana oproti pravému uhlu)

Potom platí:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Slovami: súčet druhých mocnín odvesien sa rovná druhej mocnine prepony.

Vzorec pre preponu

Ak poznáš obe odvesny a hľadáš preponu, vyjadríš $c$ z rovnice tak, že odmocníš obe strany:

c = a^{2} + b^{2}

> 📌 Pamätaj: Pri výpočte prepony sa $a^{2}$ a $b^{2}$ vždy sčítavajú.

Príklad: $a = 6$ , $b = 8$

c = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 = 10

Vzorec pre odvesnu

Ak poznáš preponu a jednu odvesnu, druhú vypočítaš odčítaním:

a = c^{2} - b^{2}

b = c^{2} - a^{2}

> 📌 Pamätaj: Pri výpočte odvesny sa od $c^{2}$ vždy odčíta druhá mocnina známej odvesny.

Príklad: $c = 17$ , $b = 8$

a = 1 7^{2} - 8^{2} = 289 - 64 = 225 = 15

> ⚠️ Výraz pod odmocninou musí byť kladný. Ak ti vyjde záporné číslo, niečo si zamenil – pravdepodobne preponu a odvesnu.

Prečo druhá mocnina

Druhá mocnina vo vzorci nie je náhoda – pochádza z obsahu štvorca. Pôvodne sa Pytagorova veta dokazovala geometricky: nad každou stranou pravouhlého trojuholníka sa zostrojí štvorec, a obsah štvorca nad preponou je presne taký veľký ako súčet obsahov dvoch štvorcov nad odvesnami.

obsah mal \overset{e}{ˊ} ho \overset{s}{ˇ} tvorca a^{2} + obsah mal \overset{e}{ˊ} ho \overset{s}{ˇ} tvorca b^{2} = obsah ve \overset{ˇ}{l} k \overset{e}{ˊ} ho \overset{s}{ˇ} tvorca c^{2}

> 👉 Klasický geometrický dôkaz: Dôkaz Pytagorovej vety a história

Zhrnutie vzorcov

Hľadáme	Vzorec
Preponu $c$	$c = a^{2} + b^{2}$
Odvesnu $a$	$a = c^{2} - b^{2}$
Odvesnu $b$	$b = c^{2} - a^{2}$
Overenie pravouhlosti	$a^{2} + b^{2} = ? c^{2}$

Vzorec Pytagorovej vety – všetky tvary a odvodenie