Dôkaz Pytagorovej vety a krátka história

Pytagorova veta nie je len vzorec na zapamätanie – stojí za ňou pekný geometrický dôkaz, ktorý si môžeš sám ukázať aj pomocou nakresleného obrázka.

Obsah článku

Krátka história
Geometrický dôkaz
Algebraický dôkaz
Zaujímavosti

Krátka história

Vetu poznal už pred viac ako $4000$ rokmi – babylonské hlinené tabuľky obsahujú zoznamy pytagorovských trojíc. Aj starovekí Egypťania pomocou trojice $(3, 4, 5)$ vytyčovali pravé uhly pri stavbe pyramíd.

Vetu po sebe dostala podľa Pytagora zo Samosu (asi $570-495$ pred n. l.), gréckeho matematika a filozofa. Pytagoras pravdepodobne nebol prvý, kto vetu poznal, ale jeho škola ju ako prvá dokázala všeobecne pre každý pravouhlý trojuholník.

Najznámejší geometrický dôkaz pochádza z knihy Základy od Euklida (asi $300$ pred n. l.). Dnes existuje viac než $400$ rôznych dôkazov tejto vety – jeden z nich vraj zostavil aj americký prezident James Garfield.

Geometrický dôkaz

Najjednoduchší dôkaz využíva dva veľké štvorce s rovnakou stranou $a + b$ , ktoré rôzne rozdelíme.

Prvé delenie

Veľký štvorec rozdelíme na:

štvorec so stranou $a$ → obsah $a^{2}$
štvorec so stranou $b$ → obsah $b^{2}$
dva rovnaké obdĺžniky $a \times b$ → spolu $2 ab$
(každý obdĺžnik môžeme rozdeliť uhlopriečkou na dva pravouhlé trojuholníky s odvesnami $a$ , $b$ )

Celkový obsah je:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

Druhé delenie

Ten istý štvorec môžeme rozdeliť ináč: vložíme doň štyri rovnaké pravouhlé trojuholníky (s odvesnami $a$ a $b$ ) tak, aby vo vnútri vznikol nový štvorec s pomocou prepôn $c$ .

štyri trojuholníky → spolu obsah $4 \cdot \frac{1}{2} ab = 2 ab$
vnútorný štvorec so stranou $c$ → obsah $c^{2}$

Celkový obsah je:

(a + b)^{2} = 2 ab + c^{2}

Záver

Obidve delenia popisujú ten istý veľký štvorec, takže sa ich obsahy musia rovnať:

a^{2} + 2 ab + b^{2} = 2 ab + c^{2}

Po odčítaní $2 ab$ z oboch strán dostávame:

a^{2} + b^{2} = c^{2} ■

A to je presne Pytagorova veta.

Algebraický dôkaz

Algebraicky možno vetu odvodiť aj cez podobné trojuholníky. V pravouhlom trojuholníku spustíme z vrcholu pravého uhla výšku na preponu. Vzniknú dva menšie trojuholníky, ktoré sú podobné s pôvodným. Z pomerov strán potom vyplynie:

a^{2} = c \cdot c_{a}

b^{2} = c \cdot c_{b}

(kde $c_{a}$ a $c_{b}$ sú úseky prepony pri päte výšky.) Ich súčet:

a^{2} + b^{2} = c \cdot (c_{a} + c_{b}) = c \cdot c = c^{2}

Zaujímavosti

🏛️ Najstarší zápis vety je na babylonskej tabuľke Plimpton 322, asi $1800$ pred n. l. Obsahuje pätnásť pytagorovských trojíc.
🔢 Existuje viac ako 400 rôznych dôkazov – od čisto geometrických cez algebraické až po dôkazy pomocou tečúcej vody alebo origami.
📐 Pytagorova veta je špeciálnym prípadom všeobecnejšej kosínusovej vety, ktorá platí pre každý trojuholník: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ$ . V pravouhlom trojuholníku je $γ = 90°$ , čiže $cos γ = 0$ , a vzorec sa zjednoduší na našu Pytagorovu vetu.
🌌 V neeuklidovských geometriách (napr. na guli) Pytagorova veta neplatí – je to teda vlastnosť rovinnej (euklidovskej) geometrie.

Súvisiace články

Precvič si

🔢 Výpočet prepony
🎯 Zmiešané úlohy

Dôkaz Pytagorovej vety a história