Pytagorovské trojice

Pytagorovská trojica je trojica prirodzených čísel $(a, b, c)$ , pre ktorú platí

a^{2} + b^{2} = c^{2} .

Inými slovami, sú to dĺžky strán pravouhlého trojuholníka, ktoré sú celé čísla. Pytagorovské trojice sú obľúbené v učebniciach, lebo s nimi vychádzajú „pekné" výsledky bez desatinných miest.

Obsah článku

Najznámejšia trojica (3, 4, 5)
Primitívne pytagorovské trojice
Násobky trojíc
Zoznam najpoužívanejších trojíc
Ako vytvoriť novú trojicu

Najznámejšia trojica (3, 4, 5)

Trojica $(3, 4, 5)$ je úplne najznámejšia. Overme si ju:

3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5^{2} ✓

Pravouhlý trojuholník s odvesnami $3$ a $4$ má teda preponu presne $5$ . Túto trojicu poznali už starovekí Egypťania – pomocou nej zostavovali pravé uhly pri stavbe pyramíd.

Primitívne pytagorovské trojice

Primitívna pytagorovská trojica je taká, v ktorej čísla $a$ , $b$ , $c$ nemajú spoločného deliteľa väčšieho ako $1$ – inak povedané, nedajú sa všetky tri vydeliť rovnakým číslom.

Príklady primitívnych trojíc:

$(3, 4, 5)$
$(5, 12, 13)$
$(8, 15, 17)$
$(7, 24, 25)$
$(20, 21, 29)$
$(9, 40, 41)$

Násobky trojíc

Z každej pytagorovskej trojice môžeme vytvoriť ďalšie tým, že všetky tri čísla vynásobíme rovnakým prirodzeným číslom. Vzniknutá trojica bude tiež pytagorovská.

Príklad: Vynásobme trojicu $(3, 4, 5)$ číslom $2$ :

(6, 8, 10)

6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 = 1 0^{2} ✓

A číslom $3$ :

(9, 12, 15)

9^{2} + 1 2^{2} = 81 + 144 = 225 = 1 5^{2} ✓

Takže z jednej primitívnej trojice $(3, 4, 5)$ získavame nekonečne veľa ďalších: $(6, 8, 10)$ , $(9, 12, 15)$ , $(12, 16, 20)$ , $(15, 20, 25)$ a tak ďalej.

Zoznam najpoužívanejších trojíc

Tieto trojice sa oplatí mať „v hlave" – urýchlia ti riešenie úloh:

$a$	$b$	$c$
----:	----:	----:
3	4	5
5	12	13
6	8	10
7	24	25
8	15	17
9	12	15
9	40	41
11	60	61
12	16	20
20	21	29

Ako vytvoriť novú trojicu

Existuje pekný vzorec, ktorým sa dajú generovať primitívne pytagorovské trojice. Pre ľubovoľné prirodzené čísla $m > n > 0$ platí:

a = m^{2} - n^{2}, b = 2 mn, c = m^{2} + n^{2}

Príklad: Pre $m = 2$ , $n = 1$ :

$a = 4 - 1 = 3$
$b = 2 \cdot 2 \cdot 1 = 4$
$c = 4 + 1 = 5$

Dostali sme trojicu $(3, 4, 5)$ .

Pre $m = 3$ , $n = 2$ :

$a = 9 - 4 = 5$
$b = 12$
$c = 9 + 4 = 13$

Dostali sme trojicu $(5, 12, 13)$ .

Súvisiace články

Precvič si

✏️ Overenie pravouhlosti
🎯 Zmiešané úlohy

Pytagorovské trojice – (3,4,5) a ďalšie