Obrátená Pytagorova veta

Pytagorova veta nám hovorí, ako z dvoch strán pravouhlého trojuholníka vypočítať tretiu. Obrátená Pytagorova veta ide opačným smerom: z troch strán nám pomôže rozhodnúť, či je trojuholník vôbec pravouhlý.

---

Obsah článku

• Znenie obrátenej vety
• Postup overenia
• Riešené príklady
• Najznámejšie pravouhlé trojice
• Časté chyby

---

Znenie obrátenej vety

> Obrátená Pytagorova veta: Ak v trojuholníku so stranami $a$, $b$, $c$ (pričom $c$ je najdlhšia strana) platí

>

>

>

> potom je trojuholník pravouhlý a pravý uhol leží oproti strane $c$.

Dôležité je, že platia obe implikácie:

• Ak je trojuholník pravouhlý → vzťah $a^2+b^2=c^2$ platí.
• Ak vzťah $a^2+b^2=c^2$ platí → trojuholník je pravouhlý.

---

Postup overenia

1. Nájdi najdlhšiu stranu. Označ ju $c$ – ak je trojuholník pravouhlý, bude to prepona.
2. Vypočítaj $a^2+b^2$ zo zvyšných dvoch strán.
3. Vypočítaj $c^2$ z najdlhšej strany.
4. Porovnaj výsledky:

- Ak $a^2+b^2=c^2$, trojuholník je pravouhlý.

- Ak $a^2+b^2\ne c^2$, trojuholník nie je pravouhlý.

---

Riešené príklady

Príklad 1: $a=6$, $b=8$, $c=10$.

Najdlhšia strana je $10$.

$$a^2+b^2=6^2+8^2=36+64=100$$
$$c^2=10^2=100$$
$$100=100✓$$

Trojuholník je pravouhlý.

---

Príklad 2: $a=5$, $b=6$, $c=8$.

Najdlhšia strana je $8$.

$$5^2+6^2=25+36=61$$
$$8^2=64$$
$$61\ne 64$$

Trojuholník nie je pravouhlý.

---

Príklad 3: $a=9$, $b=40$, $c=41$.

$$9^2+40^2=81+1600=1681$$
$$41^2=1681$$
$$1681=1681✓$$

Áno, je pravouhlý.

---

Najznámejšie pravouhlé trojice

Niektoré trojice celých čísel sa v úlohách objavujú často – oplatí sa ich poznať naspamäť:

• $(3,4,5)$
• $(5,12,13)$
• $(6,8,10)$ – násobok $(3,4,5)$
• $(7,24,25)$
• $(8,15,17)$
• $(9,40,41)$
• $(20,21,29)$

> 👉 Viac informácií: Pytagorovské trojice

---

Časté chyby

⚠️ Nezabudni si overiť, ktorá strana je najdlhšia. Ak za $c$ omylom dosadíš inú stranu, výsledok nebude správny.

⚠️ Porovnávaš druhé mocniny, nie strany. Často sa stáva, že žiak iba sčíta strany namiesto ich druhých mocnín.

⚠️ Pri zaokrúhľovaní pozor na presnosť. Ak strany nie sú celé čísla, aj malá nepresnosť v meraní môže spôsobiť, že rovnosť presne nesedí. Vtedy stačí, ak je rozdiel zanedbateľný.

---

Súvisiace články

• Pytagorova veta – kompletný sprievodca
• Vzorec Pytagorovej vety
• Príklady na Pytagorovu vetu
• Pytagorovské trojice

Precvič si

• ✏️ Overenie pravouhlosti
• 🎯 Zmiešané úlohy