Obrátená Pytagorova veta

Pytagorova veta nám hovorí, ako z dvoch strán pravouhlého trojuholníka vypočítať tretiu. Obrátená Pytagorova veta ide opačným smerom: z troch strán nám pomôže rozhodnúť, či je trojuholník vôbec pravouhlý.

Obsah článku

Znenie obrátenej vety
Postup overenia
Riešené príklady
Najznámejšie pravouhlé trojice
Časté chyby

Znenie obrátenej vety

Obrátená Pytagorova veta: Ak v trojuholníku so stranami $a$ , $b$ , $c$ (pričom $c$ je najdlhšia strana) platí
%%MATH_BLOCK_0%%
potom je trojuholník pravouhlý a pravý uhol leží oproti strane $c$ .

Dôležité je, že platia obe implikácie:

Ak je trojuholník pravouhlý → vzťah $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ platí.
Ak vzťah $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ platí → trojuholník je pravouhlý.

Postup overenia

Nájdi najdlhšiu stranu. Označ ju $c$ – ak je trojuholník pravouhlý, bude to prepona.
Vypočítaj $a^{2} + b^{2}$ zo zvyšných dvoch strán.
Vypočítaj $c^{2}$ z najdlhšej strany.
Porovnaj výsledky:

- Ak $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , trojuholník je pravouhlý.

- Ak $a^{2} + b^{2} \neq = c^{2}$ , trojuholník nie je pravouhlý.

Riešené príklady

Príklad 1:

a = 6

b = 8

c = 10

Najdlhšia strana je $10$ .

a^{2} + b^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100

c^{2} = 1 0^{2} = 100

100 = 100 ✓

Trojuholník je pravouhlý.

Príklad 2:

a = 5

b = 6

c = 8

Najdlhšia strana je $8$ .

5^{2} + 6^{2} = 25 + 36 = 61

8^{2} = 64

61 \neq = 64

Trojuholník nie je pravouhlý.

Príklad 3:

a = 9

b = 40

c = 41

9^{2} + 4 0^{2} = 81 + 1600 = 1681

4 1^{2} = 1681

1681 = 1681 ✓

Áno, je pravouhlý.

Najznámejšie pravouhlé trojice

Niektoré trojice celých čísel sa v úlohách objavujú často – oplatí sa ich poznať naspamäť:

$(3, 4, 5)$
$(5, 12, 13)$
$(6, 8, 10)$ – násobok $(3, 4, 5)$
$(7, 24, 25)$
$(8, 15, 17)$
$(9, 40, 41)$
$(20, 21, 29)$

👉 Viac informácií: Pytagorovské trojice

Časté chyby

⚠️ Nezabudni si overiť, ktorá strana je najdlhšia. Ak za $c$ omylom dosadíš inú stranu, výsledok nebude správny.

⚠️ Porovnávaš druhé mocniny, nie strany. Často sa stáva, že žiak iba sčíta strany namiesto ich druhých mocnín.

⚠️ Pri zaokrúhľovaní pozor na presnosť. Ak strany nie sú celé čísla, aj malá nepresnosť v meraní môže spôsobiť, že rovnosť presne nesedí. Vtedy stačí, ak je rozdiel zanedbateľný.

Súvisiace články

Precvič si

✏️ Overenie pravouhlosti
🎯 Zmiešané úlohy

Obrátená Pytagorova veta – ako zistiť, či je trojuholník pravouhlý