Vzdialenosť dvoch bodov v rovine

Pytagorovu vetu možno použiť aj v súradnicovej sústave – pomáha nám vypočítať vzdialenosť dvoch bodov, ak poznáme ich súradnice.

Obsah článku

Odvodenie vzorca
Vzorec pre vzdialenosť
Riešené príklady
Praktické využitie

Odvodenie vzorca

Majme dva body $A = [x_{1}, y_{1}]$ a $B = [x_{2}, y_{2}]$ v súradnicovej sústave. Spojnica $A B$ tvorí preponu pravouhlého trojuholníka, ktorého odvesny sú rovnobežné so súradnicovými osami.

Vodorovná odvesna má dĺžku $∣ x_{2} - x_{1} ∣$ .
Zvislá odvesna má dĺžku $∣ y_{2} - y_{1} ∣$ .

Podľa Pytagorovej vety platí:

∣ A B ∣^{2} = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

Vzorec pre vzdialenosť

∣ A B ∣ = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

> 💡 Pri umocňovaní rozdielu nezáleží na poradí – $(x_{2} - x_{1})^{2} = (x_{1} - x_{2})^{2}$ . Aj záporné rozdiely dajú po umocnení kladné číslo.

Riešené príklady

Príklad 1: Vypočítaj vzdialenosť bodov $A = [1, 2]$ a $B = [4, 6]$ .

∣ A B ∣ = (4 - 1)^{2} + (6 - 2)^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5

Odpoveď: $∣ A B ∣ = 5$ .

Príklad 2: Vypočítaj vzdialenosť bodov $C = [- 2, 1]$ a $D = [3, 13]$ .

∣ C D ∣ = (3 - (- 2))^{2} + (13 - 1)^{2} = 5^{2} + 1 2^{2} = 25 + 144 = 169 = 13

Odpoveď: $∣ C D ∣ = 13$ .

Príklad 3: Vypočítaj vzdialenosť bodov $P = [0, 0]$ a $Q = [6, 8]$ .

∣ P Q ∣ = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 = 10

Odpoveď: $∣ P Q ∣ = 10$ .

Praktické využitie

Vzorec na vzdialenosť dvoch bodov sa používa všade tam, kde pracujeme so súradnicami:

🗺️ Mapy a navigácia – vzdušná vzdialenosť dvoch miest na mape s mriežkou.
🎮 Počítačové hry – výpočet, ako ďaleko je hráč od cieľa.
📐 Geometria – overenie, či sú strany útvaru rovnako dlhé (napríklad či je trojuholník rovnoramenný).
📡 Fyzika – vzdialenosť, ktorú prešlo teleso v dvojrozmernom pohybe.

Súvisiace články

Precvič si

📊 Slovné úlohy
🎯 Zmiešané úlohy

Vzdialenosť dvoch bodov v rovine – pomocou Pytagorovej vety