Pytagorova veta v priestore

Pytagorova veta funguje aj v trojrozmernom priestore. Najčastejšie ju využívame na výpočet telesovej uhlopriečky kvádra alebo kocky – teda úsečky, ktorá spája dva protiľahlé vrcholy telesa.

---

Obsah článku

• Telesová uhlopriečka kvádra
• Vzorec pre kváder
• Vzorec pre kocku
• Riešené príklady

---

Telesová uhlopriečka kvádra

Predstav si kváder s rozmermi $a$, $b$, $c$. Telesová uhlopriečka je úsečka spájajúca dva protiľahlé vrcholy – tá najdlhšia úsečka, ktorá sa zmestí dovnútra kvádra.

Výpočet prebieha v dvoch krokoch:

1. Najprv vypočítame stenovú uhlopriečku $u_s$ na podstave kvádra (obdĺžnik so stranami $a$, $b$):
   
   $$u_s^2=a^2+b^2$$
2. Potom použijeme Pytagorovu vetu druhýkrát v pravouhlom trojuholníku, ktorý tvorí stenová uhlopriečka, telesová uhlopriečka a výška kvádra $c$:
   
   $$u^2=u_s^2+c^2=a^2+b^2+c^2$$

---

Vzorec pre kváder

$$u=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$

> 💡 Stačí umocniť všetky tri rozmery, sčítať ich a odmocniť. Je to vlastne „rozšírená" Pytagorova veta.

---

Vzorec pre kocku

Kocka je špeciálny prípad kvádra, kde $a=b=c$. Vzorec sa preto zjednoduší:

$$u=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=\sqrt{3a^2}=a\sqrt{3}$$

---

Riešené príklady

Príklad 1: Kváder má rozmery $a=3$ cm, $b=4$ cm, $c=12$ cm. Vypočítaj jeho telesovú uhlopriečku.

$$u^2=3^2+4^2+12^2=9+16+144=169$$
$$u=\sqrt{169}=13\text{ cm}$$

Odpoveď: Telesová uhlopriečka kvádra je $13$ cm.

---

Príklad 2: Kváder má rozmery $a=6$ cm, $b=6$ cm, $c=7$ cm.

$$u^2=36+36+49=121$$
$$u=11\text{ cm}$$

---

Príklad 3: Kocka má hranu $a=4$ cm. Aká je dĺžka jej telesovej uhlopriečky?

$$u=a\sqrt{3}=4\sqrt{3}\approx 6,93\text{ cm}$$

Odpoveď: Telesová uhlopriečka kocky je približne $6,93$ cm.

---

Príklad 4 (zo života): Zmestí sa drevená tyč dlhá $1,4$ m do škatule s rozmermi $1,0\times 0,8\times 0,6$ m?

Stačí porovnať dĺžku tyče s telesovou uhlopriečkou škatule:

$$u=\sqrt{1,0^2+0,8^2+0,6^2}=\sqrt{1+0,64+0,36}=\sqrt{2}\approx 1,41\text{ m}$$

Tyč dlhá $1,4$ m sa do škatule zmestí, pretože jej najdlhšia uhlopriečka je približne $1,41$ m.

---

Súvisiace články

• Pytagorova veta – kompletný sprievodca
• Vzorec Pytagorovej vety
• Vzdialenosť dvoch bodov
• Slovné úlohy

Precvič si

• 📊 Slovné úlohy
• 🎯 Zmiešané úlohy