Slovné úlohy na Pytagorovu vetu

Slovné úlohy ti ukážu, ako sa Pytagorova veta používa v reálnom živote. Nasledujúce príklady sú typické a často sa objavujú v písomkách aj v Testovaní 9.

💡 Postup pri každej slovnej úlohe:
1. Pozorne si prečítaj zadanie.
2. Načrtni si obrázok – pravouhlý trojuholník s označenými stranami.
3. Identifikuj, čo je prepona a čo odvesny.
4. Dosaď do vzorca a vypočítaj.
5. Nezabudni odpoveď zapísať aj slovami s jednotkami.

Rebrík opretý o stenu

Úloha: Rebrík dlhý

5

m je opretý o stenu tak, že jeho päta je

3

m od steny. Do akej výšky

h

siaha rebrík na stene?

Rebrík tvorí preponu pravouhlého trojuholníka, vzdialenosť päty od steny a výška steny tvoria odvesny.

h^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 25 - 9 = 16

h = 16 = 4 m

Odpoveď: Rebrík siaha do výšky

4

Uhlopriečka obdĺžnika

Úloha: Obdĺžnik má rozmery

a = 6

cm a

b = 8

cm. Vypočítaj dĺžku jeho uhlopriečky

u

Uhlopriečka obdĺžnika rozdeľuje obdĺžnik na dva pravouhlé trojuholníky. Strany obdĺžnika sú odvesny, uhlopriečka je prepona.

u^{2} = a^{2} + b^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100

u = 100 = 10 cm

Odpoveď: Uhlopriečka obdĺžnika má dĺžku

10

cm.

Uhlopriečka štvorca

Úloha: Štvorec má stranu

a = 5

cm. Aká je dĺžka jeho uhlopriečky?

V štvorci sú obe strany pravouhlého trojuholníka rovnaké:

u^{2} = a^{2} + a^{2} = 2 a^{2} = 2 \cdot 25 = 50

u = 50 \approx 7, 07 cm

Odpoveď: Uhlopriečka štvorca má dĺžku približne

7, 07

cm.

💡 Vzorec pre uhlopriečku štvorca: $u = a 2$

Vzdialenosť dvoch bodov

Úloha: Mesto

A

30

km severne a

40

km východne od mesta

B

. Aká je vzdušná vzdialenosť medzi mestami?

Predstav si pravouhlý trojuholník: jedna odvesna $30$ km (sever), druhá $40$ km (východ), prepona je vzdušná vzdialenosť.

d^{2} = 3 0^{2} + 4 0^{2} = 900 + 1600 = 2500

d = 2500 = 50 km

Odpoveď: Vzdušná vzdialenosť je

50

km.

👉 Podrobnejšie vysvetlenie: Vzdialenosť dvoch bodov v rovine

Výška rovnoramenného trojuholníka

Úloha: Rovnoramenný trojuholník má základňu

z = 12

cm a ramená

r = 10

cm. Vypočítaj jeho výšku

v

Výška rovnoramenného trojuholníka pretína základňu na jej polovici. Vznikne pravouhlý trojuholník, kde rameno je prepona, polovica základne je jedna odvesna a výška je druhá odvesna.

v^{2} = r^{2} - (\frac{z}{2})^{2} = 1 0^{2} - 6^{2} = 100 - 36 = 64

v = 64 = 8 cm

Odpoveď: Výška trojuholníka je

8

cm.

Najkratšia trasa

Úloha: Park má tvar obdĺžnika s rozmermi

80

m a

60

m. Cesta vedie po obvode parku, ale možno prejsť aj diagonálne cez park. O koľko metrov je diagonálna cesta kratšia ako cesta po dvoch susedných stranách? Krok 1: Diagonála parku.

d = 8 0^{2} + 6 0^{2} = 6400 + 3600 = 10000 = 100 m

Krok 2: Cesta po dvoch susedných stranách.

80 + 60 = 140 m

Krok 3: Rozdiel.

140 - 100 = 40 m

Odpoveď: Diagonálna cesta je o

40

m kratšia.

Slovné úlohy na Pytagorovu vetu – riešené príklady