Slovné úlohy na Pytagorovu vetu

Slovné úlohy ti ukážu, ako sa Pytagorova veta používa v reálnom živote. Nasledujúce príklady sú typické a často sa objavujú v písomkách aj v Testovaní 9.

> 💡 Postup pri každej slovnej úlohe:

> 1. Pozorne si prečítaj zadanie.

> 2. Načrtni si obrázok – pravouhlý trojuholník s označenými stranami.

> 3. Identifikuj, čo je prepona a čo odvesny.

> 4. Dosaď do vzorca a vypočítaj.

> 5. Nezabudni odpoveď zapísať aj slovami s jednotkami.

Rebrík opretý o stenu

Úloha: Rebrík dlhý $5$ m je opretý o stenu tak, že jeho päta je $3$ m od steny. Do akej výšky $h$ siaha rebrík na stene?

Rebrík tvorí preponu pravouhlého trojuholníka, vzdialenosť päty od steny a výška steny tvoria odvesny.

h^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 25 - 9 = 16

h = 16 = 4 m

Odpoveď: Rebrík siaha do výšky $4$ m.

Uhlopriečka obdĺžnika

Úloha: Obdĺžnik má rozmery $a = 6$ cm a $b = 8$ cm. Vypočítaj dĺžku jeho uhlopriečky $u$ .

Uhlopriečka obdĺžnika rozdeľuje obdĺžnik na dva pravouhlé trojuholníky. Strany obdĺžnika sú odvesny, uhlopriečka je prepona.

u^{2} = a^{2} + b^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100

u = 100 = 10 cm

Odpoveď: Uhlopriečka obdĺžnika má dĺžku $10$ cm.

Uhlopriečka štvorca

Úloha: Štvorec má stranu $a = 5$ cm. Aká je dĺžka jeho uhlopriečky?

V štvorci sú obe strany pravouhlého trojuholníka rovnaké:

u^{2} = a^{2} + a^{2} = 2 a^{2} = 2 \cdot 25 = 50

u = 50 \approx 7, 07 cm

Odpoveď: Uhlopriečka štvorca má dĺžku približne $7, 07$ cm.

> 💡 Vzorec pre uhlopriečku štvorca: $u = a 2$

Vzdialenosť dvoch bodov

Úloha: Mesto $A$ je $30$ km severne a $40$ km východne od mesta $B$ . Aká je vzdušná vzdialenosť medzi mestami?

Predstav si pravouhlý trojuholník: jedna odvesna $30$ km (sever), druhá $40$ km (východ), prepona je vzdušná vzdialenosť.

d^{2} = 3 0^{2} + 4 0^{2} = 900 + 1600 = 2500

d = 2500 = 50 km

Odpoveď: Vzdušná vzdialenosť je $50$ km.

> 👉 Podrobnejšie vysvetlenie: Vzdialenosť dvoch bodov v rovine

Výška rovnoramenného trojuholníka

Úloha: Rovnoramenný trojuholník má základňu $z = 12$ cm a ramená $r = 10$ cm. Vypočítaj jeho výšku $v$ .

Výška rovnoramenného trojuholníka pretína základňu na jej polovici. Vznikne pravouhlý trojuholník, kde rameno je prepona, polovica základne je jedna odvesna a výška je druhá odvesna.

v^{2} = r^{2} - (\frac{z}{2})^{2} = 1 0^{2} - 6^{2} = 100 - 36 = 64

v = 64 = 8 cm

Odpoveď: Výška trojuholníka je $8$ cm.

Najkratšia trasa

Úloha: Park má tvar obdĺžnika s rozmermi $80$ m a $60$ m. Cesta vedie po obvode parku, ale možno prejsť aj diagonálne cez park. O koľko metrov je diagonálna cesta kratšia ako cesta po dvoch susedných stranách?

Krok 1: Diagonála parku.

d = 8 0^{2} + 6 0^{2} = 6400 + 3600 = 10000 = 100 m

Krok 2: Cesta po dvoch susedných stranách.

80 + 60 = 140 m

Krok 3: Rozdiel.

140 - 100 = 40 m

Odpoveď: Diagonálna cesta je o $40$ m kratšia.

Slovné úlohy na Pytagorovu vetu – riešené príklady