Mocniny s racionálnym exponentom

Mocniny s racionálnym exponentom

Vieme, čo je 2³ (2 · 2 · 2 = 8) aj 2⁻¹ (1/2). Ale čo znamená 9^(1/2) — „deväť na jednu polovicu“? Nedá sa predsa vynásobiť deviatku „pol-krát“.

Matematici sa dohodli na význame, pri ktorom ostanú v platnosti všetky známe pravidlá pre mocniny. A vyšlo, že zlomok v exponente je iný zápis odmocniny: 9^(1/2) = √9 = 3.

Obsah

Prečo je zlomok v exponente odmocnina

Pri násobení mocnín s rovnakým základom sa exponenty sčítavajú: aʳ · aˢ = a^(r + s). Ak má platiť aj pre polovice, musí byť

9^(1/2) · 9^(1/2) = 9^(1/2 + 1/2) = 9¹ = 9.

Hľadáme teda kladné číslo, ktoré vynásobené samo sebou dá 9. To je presne √9 = 3. Podobne 8^(1/3) · 8^(1/3) · 8^(1/3) = 8, preto 8^(1/3) = ∛8 = 2.

Všeobecné pravidlo

Pre a > 0 a prirodzené čísla m, n platí:

a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) = (ⁿ√a)ᵐ

Čítame: „a na m n-tín je n-tá odmocnina z a na m-tú“.

  • Menovateľ n hovorí, koľká je odmocnina.
  • Čitateľ m hovorí, na koľkú umocňujeme.

Napríklad a^(1/2) = √a, a^(1/3) = ∛a, a^(3/4) = ∜(a³).

Výpočet hodnoty

💡 Pri výpočte je výhodnejšie najprv odmocniť, potom umocniť — čísla zostanú malé.

Riešený príklad 1

8^(2/3)

  1. Menovateľ 3 — tretia odmocnina: ∛8 = 2.
  2. Čitateľ 2 — na druhú: 2² = 4.
  3. 8^(2/3) = 4.

Riešený príklad 2

32^(2/5)

  1. ⁵√32 = 2, lebo 2⁵ = 32.
  2. 2² = 4.

Riešený príklad 3

36^(3/2)

  1. √36 = 6.
  2. 6³ = 216.

Záporný exponent a zlomok v základe

Záporný exponent znamená prevrátenú hodnotu: a⁻ʳ = 1/aʳ.

Riešený príklad 4

16^(−3/4)

  1. 16^(−3/4) = 1/16^(3/4).
  2. ∜16 = 2 a 2³ = 8.
  3. 16^(−3/4) = 1/8.

Riešený príklad 5

(4/9)^(3/2)

  1. Odmocníme čitateľa aj menovateľa: √4 = 2, √9 = 3.
  2. (2/3)³ = 8/27.

Riešený príklad 6

(1/8)^(−2/3)

  1. Záporný exponent zlomok prevráti: (1/8)^(−2/3) = 8^(2/3).
  2. 8^(2/3) = 4 (pozri príklad 1).

Prepis odmocniny na mocninu

Pravidlo funguje aj opačne: odmocninu prepíšeme na mocninu so zlomkom v exponente. Predpokladáme a > 0.

Odmocnina√a∛(a²)⁵√(a³)1/√a1/∛(a²)
Mocninaa^(1/2)a^(2/3)a^(3/5)a^(−1/2)a^(−2/3)

Počítanie s mocninami

Platia rovnaké pravidlá ako pri celých exponentoch:

PravidloPríklad
aʳ · aˢ = a^(r + s)a^(1/2) · a^(1/3) = a^(5/6)
aʳ : aˢ = a^(r − s)a^(5/4) : a^(1/2) = a^(3/4)
(aʳ)ˢ = a^(r · s)(a^(2/3))^(3/4) = a^(1/2)

Riešený príklad 7

√a · ∛a

  1. Prepis na mocniny: a^(1/2) · a^(1/3).
  2. Exponenty sčítame: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.
  3. √a · ∛a = a^(5/6) = ⁶√(a⁵).

Riešený príklad 8

√(a · ∛a)

  1. Vnútri: a · ∛a = a¹ · a^(1/3) = a^(4/3).
  2. Druhá odmocnina = exponent 1/2: (a^(4/3))^(1/2) = a^(4/3 · 1/2) = a^(2/3).
  3. √(a · ∛a) = a^(2/3).

Najčastejšie chyby

  • Zlomok v exponente ako násobenie. 8^(2/3) nie je 8 · 2/3. Správne je (∛8)² = 4.
  • Prehodený čitateľ a menovateľ. ∛(a²) = a^(2/3), nie a^(3/2). Odmocniteľ ide do menovateľa.
  • Záporný exponent ako záporné číslo. 16^(−3/4) = 1/8, nie −8.
  • Nesprávne sčítanie zlomkov. 1/2 + 1/3 nie je 2/5, ale 5/6.

V skratke

  • a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ): menovateľ = koľká odmocnina, čitateľ = na koľkú.
  • Pri výpočte najprv odmocni, potom umocni.
  • Záporný exponent znamená prevrátenú hodnotu.
  • Súčin mocnín: exponenty sčítaj, podiel: odčítaj, mocnina mocniny: vynásob.

Skús si sám

  1. 27^(2/3)
  2. 25^(−1/2)
  3. Zapíš ako mocninu: ∜(a³)
  4. a^(3/4) · a^(1/2)
  5. ∛(a²) : √a
Riešenia:
  1. ∛27 = 3, 3² = 9.
  2. 1/√25 = 1/5.
  3. a^(3/4).
  4. a^(3/4 + 2/4) = a^(5/4).
  5. a^(2/3 − 1/2) = a^(4/6 − 3/6) = a^(1/6).

Precvič si

👉 Späť na začiatok: Čiastočné odmocňovanie