Vnášanie pod odmocninu a porovnávanie odmocnín

Vnášanie pod odmocninu a porovnávanie odmocnín

Ktoré číslo je väčšie: 2√7, alebo 3√3? Na prvý pohľad má prvé menšie číslo pred odmocninou, ale väčšie pod ňou. Bez kalkulačky to rozhodneme jednoduchým trikom — obe čísla prepíšeme tak, aby boli celé pod odmocninou.

Tento krok je opakom čiastočného odmocňovania a volá sa vnášanie pod odmocninu.

Obsah

Hlavná myšlienka

Každé nezáporné číslo sa dá zapísať ako odmocnina zo svojej druhej mocniny: 3 = √9, lebo 3² = 9. Preto:

a√b = √(a² · b) (pre a ≥ 0, b ≥ 0)

Číslo pred odmocninou umocníme na druhú a vynásobíme ním číslo pod odmocninou.

Pri tretej odmocnine umocňujeme na tretiu: a∛b = ∛(a³ · b).

Druhá odmocnina

Riešený príklad 1

3√2

  1. 3 = √9.
  2. 3√2 = √9 · √2 = √(9 · 2) = √18.

Skúška čiastočným odmocnením: √18 = √(9 · 2) = 3√2 ✓.

Riešený príklad 2

5√3

  1. 5² = 25.
  2. 5√3 = √(25 · 3) = √75.

Tretia a štvrtá odmocnina

Riešený príklad 3

2∛5

  1. Pri tretej odmocnine umocníme na tretiu: 2³ = 8.
  2. 2∛5 = ∛(8 · 5) = ∛40.

Riešený príklad 4

3∜2 (štvrtá odmocnina — umocňujeme na štvrtú)

  1. 3⁴ = 81.
  2. 3∜2 = ∜(81 · 2) = ∜162.

Porovnávanie odmocnín

Druhá odmocnina rastie: čím väčšie číslo pod ňou, tým väčšia odmocnina. Preto stačí obe čísla vniesť pod odmocninu a porovnať čísla pod ňou.

Riešený príklad 5

2√7 a 3√3

  1. 2√7 = √(4 · 7) = √28.
  2. 3√3 = √(9 · 3) = √27.
  3. 28 > 27, preto 2√7 > 3√3.

Kalkulačka to potvrdí: 2√7 ≈ 5,29 a 3√3 ≈ 5,20.

Riešený príklad 6

3√5 a 7

  1. 3√5 = √45.
  2. 7 = √49.
  3. 45 < 49, preto 3√5 < 7.

Riešený príklad 7

2√18 a 3√8

  1. 2√18 = √(4 · 18) = √72.
  2. 3√8 = √(9 · 8) = √72.
  3. Obe čísla sú rovnaké: 2√18 = 3√8. (Po čiastočnom odmocnení sú obe 6√2.)

Riešený príklad 8

3∛2 a 2∛6

  1. 3∛2 = ∛(27 · 2) = ∛54.
  2. 2∛6 = ∛(8 · 6) = ∛48.
  3. 54 > 48, preto 3∛2 > 2∛6.

Najčastejšie chyby

  • Číslo sa neumocní. 3√2 nie je √6. Trojka ide pod odmocninu ako 3² = 9, teda √18.
  • Pri tretej odmocnine na druhú. 2∛5 nie je ∛20. Správne je 2³ · 5 = 40, teda ∛40.
  • Porovnanie len podľa čísla pred odmocninou. 3√3 má väčšie číslo vpredu ako 2√7, a predsa je menšie.
  • Porovnávanie rôznych odmocnín. √28 a ∛28 sa porovnať takto nedajú — pod rovnakú odmocninu musia ísť obe čísla.

V skratke

  • a√b = √(a²b), a∛b = ∛(a³b).
  • Vnášanie pod odmocninu je opak čiastočného odmocňovania.
  • Dve odmocniny porovnáš tak, že obe prepíšeš na jednu odmocninu a porovnáš čísla pod nimi.
  • Aj celé číslo sa dá zapísať ako odmocnina: 7 = √49.

Skús si sám

  1. Vnes pod odmocninu: 4√3
  2. Vnes pod odmocninu: 3∛4
  3. Porovnaj 5√2 a 4√3.
  4. Porovnaj 2√11 a 7.
Riešenia:
  1. 4√3 = √(16 · 3) = √48.
  2. 3∛4 = ∛(27 · 4) = ∛108.
  3. 5√2 = √50 a 4√3 = √48, preto 5√2 > 4√3.
  4. 2√11 = √44 a 7 = √49, preto 2√11 < 7.

Precvič si

👉 Ďalej: Sčítanie a odčítanie odmocnín