Usmerňovanie zlomkov

Usmerňovanie zlomkov

Koľko je 1/√2? Ak máš počítať ručne, musíš deliť číslom 1,414 21… — nepríjemné. Ale 1/√2 je to isté ako √2/2, a to je jednoducho polovica z 1,414 21…, teda 0,707 1…

Prepísať zlomok tak, aby v menovateli nebola odmocnina, sa nazýva usmerňovanie zlomku. Výsledok sa potom ľahšie odhaduje, porovnáva aj sčítava s ďalšími odmocninami.

Obsah

Hlavná myšlienka: rozšírenie zlomku

Zlomok sa nezmení, ak čitateľa aj menovateľa vynásobíme tým istým číslom (rozšírime ho). Napríklad 1/2 = 3/6.

Rozšírime ho takým číslom, aby odmocnina v menovateli zmizla. Pomôžu nám dve pravidlá z článku Násobenie a delenie odmocnín:

  • √a · √a = a
  • (√a + b)(√a − b) = a − b²

Jedna odmocnina v menovateli

Zlomok rozšírime tou istou odmocninou, ktorá je v menovateli.

Riešený príklad 1

1/√2

  1. Rozšírime √2: (1 · √2)/(√2 · √2).
  2. √2 · √2 = 2.
  3. 1/√2 = √2/2.

Riešený príklad 2

6/√3

  1. Rozšírime √3: 6√3/(√3 · √3) = 6√3/3.
  2. Vykrátime 6 a 3: 2√3.

Číslo pred odmocninou a odmocnina v čitateli

Riešený príklad 3

10/(3√5)

  1. Rozšírime √5 (trojku nechávame): 10√5/(3 · 5) = 10√5/15.
  2. Vykrátime 10 a 15 číslom 5: 2√5/3.

Riešený príklad 4

√3/√8

  1. Rozšírime √8: √3 · √8/8 = √24/8.
  2. √24 = 2√6, teda 2√6/8.
  3. Vykrátime: √6/4.

💡 Rýchlejšie: najprv zjednoduš menovateľa. √8 = 2√2, takže stačí rozšíriť √2: √3/(2√2) = √6/(2 · 2) = √6/4.

Dvojčlen v menovateli

Ak je v menovateli súčet alebo rozdiel, napríklad √5 − √2, rozšírenie √5 nepomôže. Rozšírime ho tým istým dvojčlenom s opačným znamienkom v strede — √5 + √2. V menovateli potom vznikne (a − b)(a + b) = a² − b² a odmocniny zmiznú.

Riešený príklad 5

1/(√5 − √2)

  1. Rozšírime (√5 + √2).
  2. Menovateľ: (√5 − √2)(√5 + √2) = (√5)² − (√2)² = 5 − 2 = 3.
  3. Čitateľ: 1 · (√5 + √2) = √5 + √2.
  4. 1/(√5 − √2) = (√5 + √2)/3.

Riešený príklad 6

3/(√7 + 2)

  1. Rozšírime (√7 − 2).
  2. Menovateľ: (√7)² − 2² = 7 − 4 = 3.
  3. Čitateľ: 3(√7 − 2).
  4. 3(√7 − 2)/3 = √7 − 2.

Skúška kalkulačkou: 3/(2,646 + 2) ≈ 0,646 a √7 − 2 ≈ 0,646 ✓.

Najčastejšie chyby

  • Rozšírený len menovateľ. 1/√2 nie je 1/2. Rozširuje sa vždy čitateľ aj menovateľ.
  • Pri dvojčlene rozšírenie jednou odmocninou. 1/(√5 − √2) rozšírené √5 dá (√5)/(5 − √10) — odmocnina v menovateli zostala.
  • Rovnaké znamienko namiesto opačného. (√5 − √2)(√5 − √2) = 7 − 2√10, odmocnina nezmizla.
  • Nevykrátený výsledok. 6√3/3 treba dokončiť na 2√3.

V skratke

  • Usmerniť zlomok = odstrániť odmocninu z menovateľa.
  • Jednu odmocninu √a v menovateli odstráň rozšírením √a.
  • Dvojčlen √a − b rozšír výrazom √a + b (a naopak); použije sa vzorec (x − y)(x + y) = x² − y².
  • Na konci vykráť.

Skús si sám

  1. 4/√2
  2. 5/(2√10)
  3. 2/(√3 + 1)
  4. 4/(√6 − √2)
Riešenia:
  1. 4√2/2 = 2√2.
  2. 5√10/20 = √10/4.
  3. 2(√3 − 1)/(3 − 1) = √3 − 1.
  4. 4(√6 + √2)/(6 − 2) = √6 + √2.

Precvič si

👉 Ďalej: Mocniny s racionálnym exponentom