Sčítanie a odčítanie odmocnín

Sčítanie a odčítanie odmocnín

V košíku sú 3 jablká, pridáme 5 jabĺk — máme 8 jabĺk. Ak však pridáme 5 hrušiek, nebude to 8 jabĺk ani 8 hrušiek — zostanú 3 jablká a 5 hrušiek.

S odmocninami je to rovnaké. 3√2 + 5√2 = 8√2, lebo sčítavame rovnaké „veci“ — odmocniny z dvoch. Ale √2 + √3 sa jedným číslom zapísať nedá.

Obsah

Rovnaké odmocniny

Členy s rovnakou odmocninou spojíme tak, že sčítame alebo odčítame čísla pred nimi. Odmocnina zostane rovnaká.

a√r + b√r = (a + b)√r

Samotné √2 znamená 1 · √2 — číslo 1 sa nepíše.

Riešený príklad 1

3√2 + 5√2 − √2

  1. Všetky členy majú √2.
  2. Čísla pred odmocninou: 3 + 5 − 1 = 7.
  3. 3√2 + 5√2 − √2 = 7√2.

Najprv čiastočne odmocni

Odmocniny, ktoré vyzerajú rozdielne, môžu byť po čiastočnom odmocnení rovnaké.

Riešený príklad 2

√12 + √27

  1. √12 = √(4 · 3) = 2√3.
  2. √27 = √(9 · 3) = 3√3.
  3. 2√3 + 3√3 = 5√3.

Riešený príklad 3

√50 − √18

  1. √50 = √(25 · 2) = 5√2.
  2. √18 = √(9 · 2) = 3√2.
  3. 5√2 − 3√2 = 2√2.

Viac členov a čísla pred odmocninou

Ak je pred odmocninou číslo, vynásobíme ním to, čo z odmocniny vyberieme.

Riešený príklad 4

2√48 − 3√12 + √3

  1. 2√48 = 2 · √(16 · 3) = 2 · 4√3 = 8√3.
  2. 3√12 = 3 · √(4 · 3) = 3 · 2√3 = 6√3.
  3. 8√3 − 6√3 + √3 = (8 − 6 + 1)√3 = 3√3.

Riešený príklad 5

√8 + √12 − √18

  1. √8 = 2√2, √12 = 2√3, √18 = 3√2.
  2. 2√2 + 2√3 − 3√2 = −√2 + 2√3.
  3. Odmocniny √2 a √3 sú rôzne, ďalej sa spojiť nedajú. Výsledok: 2√3 − √2.

Tretie odmocniny

Postup je rovnaký, len pri čiastočnom odmocnení hľadáme kocky (8, 27, 64, 125…).

Riešený príklad 6

∛16 + ∛54

  1. ∛16 = ∛(8 · 2) = 2∛2.
  2. ∛54 = ∛(27 · 2) = 3∛2.
  3. 2∛2 + 3∛2 = 5∛2.

⚠️ Druhú a tretiu odmocninu spojiť nemožno: √2 + ∛2 zostane tak, ako je.

Najčastejšie chyby

  • Sčítanie čísel pod odmocninou. √2 + √3 nie je √5. Skúška: √2 + √3 ≈ 1,41 + 1,73 = 3,14, ale √5 ≈ 2,24.
  • Zabudnuté čiastočné odmocnenie. √12 + √27 vyzerá ako nespojiteľný súčet, ale je to 5√3.
  • Zabudnutá jednotka. 5√3 − √3 = 4√3, nie 5.
  • Zabudnuté číslo pred odmocninou. 2√48 = 2 · 4√3 = 8√3, nie 4√3.

V skratke

  • Spojiť sa dajú len rovnaké odmocniny (rovnaký odmocniteľ aj odmocnenec).
  • a√r + b√r = (a + b)√r — sčítavajú sa čísla pred odmocninou.
  • Pred sčítaním každú odmocninu čiastočne odmocni.
  • Členy s rôznymi odmocninami nechaj vedľa seba.

Skús si sám

  1. 4√5 − 7√5 + 2√5
  2. √20 + √45
  3. 3√8 − √32
  4. 2∛24 − ∛81
Riešenia:
  1. (4 − 7 + 2)√5 = −√5.
  2. 2√5 + 3√5 = 5√5.
  3. 3 · 2√2 − 4√2 = 6√2 − 4√2 = 2√2.
  4. 2 · 2∛3 − 3∛3 = 4∛3 − 3∛3 = ∛3.

Precvič si

👉 Ďalej: Násobenie a delenie odmocnín