Štvorcová záhradka má obsah 72 m². Aká dlhá je jej strana? Hľadáme číslo, ktoré po umocnení na druhú dá 72, teda √72. Kalkulačka ukáže 8,485 2… — číslo, ktoré nikdy neskončí. Presne ho zapíšeme len pomocou odmocniny.
Zápis √72 sa však dá zjednodušiť na 6√2. Obe čísla sú rovnaké, druhý zápis je len kratší a ľahšie sa s ním počíta. Tomuto postupu hovoríme čiastočné odmocňovanie.
Druhá odmocnina z čísla a (čítame „odmocnina z a“, píšeme √a) je nezáporné číslo, ktoré po umocnení na druhú dá a. Napríklad √36 = 6, lebo 6² = 36.
Tretia odmocnina z čísla a (čítame „tretia odmocnina z a“, píšeme ∛a) je číslo, ktoré po umocnení na tretiu dá a. Napríklad ∛8 = 2, lebo 2³ = 8.
Číslu pod odmocninou hovoríme odmocnenec. Malé číslo vľavo hore pri ∛ je odmocniteľ — hovorí, koľká je to odmocnina. Pri druhej odmocnine dvojku nepíšeme.
Ak teda číslo pod odmocninou rozložíme na súčin, v ktorom je jeden činiteľ štvorec, tento štvorec vieme odmocniť a dostať ho pred odmocninu.
Postup krok za krokom
Riešený príklad 1
√72
Hľadáme najväčší štvorec, ktorý delí 72. Skúšame od väčších: 64 nie, 49 nie, 36 áno — 72 = 36 · 2.
√72 = √(36 · 2) = √36 · √2.
√36 = 6, preto √72 = 6√2.
Zápis 6√2 čítame „šesť odmocnín z dvoch“ — znamená 6 · √2.
Riešený príklad 2
√180
180 = 36 · 5.
√180 = √36 · √5 = 6√5.
Ako nájsť najväčší štvorec
Ak ho nevidíš hneď, rozlož číslo na prvočísla a hľadaj dvojice: 180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5. Z každej dvojice ide pred odmocninu jedno číslo: 2 · 3 = 6. Pod odmocninou zostane to, čo nemá pár: 5. Teda √180 = 6√5.
💡 Nevadí, ak najprv vyberieš menší štvorec: √72 = √(4 · 18) = 2√18. Ale 18 = 9 · 2 ešte obsahuje štvorec, takže pokračuješ: 2√18 = 2 · 3√2 = 6√2. Hotovo je, až keď pod odmocninou nezostane žiadny štvorec okrem 1.
Číslo pred odmocninou
Ak už pred odmocninou nejaké číslo je, vynásobíme ho tým, čo vyberieme.
Riešený príklad 3
3√50
50 = 25 · 2, preto √50 = 5√2.
3√50 = 3 · 5√2 = 15√2.
Tretia odmocnina
Pri tretej odmocnine hľadáme namiesto štvorca kocku (tretiu mocninu): 8, 27, 64, 125…
∛(a · b) = ∛a · ∛b
Riešený príklad 4
∛54
54 = 27 · 2 a 27 = 3³.
∛54 = ∛27 · ∛2 = 3∛2.
Riešený príklad 5
∛250
250 = 125 · 2 a 125 = 5³.
∛250 = 5∛2.
⚠️ Pri tretej odmocnine nestačí štvorec. ∛72 = ∛(8 · 9) = 2∛9 — deviatka pod treťou odmocninou zostáva, lebo 9 nie je kocka.
Odmocniny s premennou
Premenná sa odmocňuje rovnako. Pri druhej odmocnine hľadáme párne mocniny: a² = a · a, a⁴ = a² · a². Predpokladáme a ≥ 0, aby výrazy mali zmysel (a odmocnina z a² bola naozaj a).
Riešený príklad 6
√(18a³), a ≥ 0
Číslo: 18 = 9 · 2.
Premenná: a³ = a² · a.
√(18a³) = √(9a² · 2a) = √(9a²) · √(2a) = 3a√(2a).
Riešený príklad 7
∛(16b⁵)
16 = 8 · 2, b⁵ = b³ · b².
∛(16b⁵) = ∛(8b³) · ∛(2b²) = 2b∛(2b²).
Najčastejšie chyby
Nedokončené odmocnenie. √72 = 2√18 je správne, ale nie je to koniec — 18 ešte obsahuje štvorec 9.
Odmocnenie súčtu po častiach. √(9 + 16) nie je 3 + 4 = 7. Správne je √25 = 5. Pravidlo √(a · b) = √a · √b platí len pre súčin.
Vybraný činiteľ zostane aj pod odmocninou. √(36 · 2) je 6√2, nie 6√72 ani 6√(36 · 2).
Pri tretej odmocnine štvorec. ∛18 sa nedá zjednodušiť cez 9 — hľadáme kocku.
V skratke
√(a · b) = √a · √b a ∛(a · b) = ∛a · ∛b.
Rozlož odmocnenca na súčin so štvorcom (pri ∛ s kockou), ten odmocni a napíš pred odmocninu.
Číslo, ktoré už pred odmocninou je, vynásob tým, čo vyberieš.
Hotovo je, keď pod odmocninou nezostane žiadny štvorec (kocka) okrem 1.
