Podmnožina a rovnosť množín

Podmnožina a rovnosť množín

V triede je 28 žiakov. Do školského zboru chodí 9 z nich. Každý člen zboru je teda zároveň žiakom triedy — zbor je časťou triedy. V matematike povieme, že množina členov zboru je podmnožinou množiny žiakov triedy.

Obsah

Podmnožina

Množina A je podmnožinou množiny B, ak každý prvok množiny A patrí aj do B. Zapisujeme:

A ⊂ B — čítame „A je podmnožinou B“ alebo „A je časťou B“.

Vennov diagram: kruh B leží celý vnútri kruhu A

Na obrázku leží kruh B celý vnútri kruhu A, teda B ⊂ A. Nie je v B nič, čo by nebolo aj v A.

Príklady:

  • {2, 4} ⊂ {1, 2, 3, 4} — obe čísla 2 aj 4 sú vo väčšej množine,
  • N ⊂ Z — každé prirodzené číslo je celé,
  • {1, 5} ⊄ {1, 2, 3} — číslo 5 vo väčšej množine nie je. Znak ⊄ znamená „nie je podmnožinou“.

Dve zaujímavé pravidlá:

  • Každá množina je podmnožinou samej seba: A ⊂ A.
  • Prázdna množina je podmnožinou každej množiny: ∅ ⊂ A. Nemá žiadny prvok, ktorý by mohol „chýbať“.

Ako overiť, či A ⊂ B

Prejdi prvky A jeden po druhom a pri každom sa opýtaj: „Je aj v B?“

  • Ak áno pri všetkých → A ⊂ B.
  • Ak nájdeš čo i len jeden prvok A, ktorý v B nie je → A ⊄ B.

Riešený príklad 1

Je A = {3, 6, 9} podmnožinou B = {x ∈ N; x je deliteľ čísla 18}?

  1. Vymenujeme B: delitele čísla 18 sú 1, 2, 3, 6, 9, 18. B = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
  2. 3 ∈ B ✓, 6 ∈ B ✓, 9 ∈ B ✓.
  3. Áno, A ⊂ B.

Rovnosť množín

Dve množiny sú si rovné (A = B), ak majú presne tie isté prvky. Inými slovami: A ⊂ B a zároveň B ⊂ A.

Na poradí ani na spôsobe zápisu nezáleží:

  • {1, 2, 3} = {3, 1, 2},
  • {x ∈ Z; x² = 4} = {−2, 2},
  • {x ∈ N; x je párne prvočíslo} = {2}.

💡 Rovnosť overíš v dvoch krokoch. Najprv skontroluj, či je každý prvok A v B, a potom, či je každý prvok B v A.

Keď ani jedna nie je podmnožinou druhej

Často platí, že ani A ⊂ B, ani B ⊂ A. Napríklad A = {1, 2, 3} a B = {2, 3, 4}:

  • 1 je v A, ale nie v B → A ⊄ B,
  • 4 je v B, ale nie v A → B ⊄ A.

Množiny majú spoločné prvky (2 a 3), ale každá má aj niečo „svoje“.

Množiny zadané vlastnosťou

Ak je množina zadaná vlastnosťou, najprv vypíš jej prvky. Až potom porovnávaj.

Riešený príklad 2

Porovnaj A = {x ∈ Z; |x| ≤ 2} a B = {x ∈ Z; −2 ≤ x < 3}.

  1. A: celé čísla vo vzdialenosti najviac 2 od nuly. A = {−2, −1, 0, 1, 2}.
  2. B: celé čísla od −2 (vrátane) do 3 (bez trojky). B = {−2, −1, 0, 1, 2}.
  3. Obe majú presne tie isté prvky. A = B.

Riešený príklad 3

Porovnaj A = {x ∈ N; x je deliteľ čísla 6} a B = {x ∈ N; x je deliteľ čísla 12}.

  1. A = {1, 2, 3, 6}, B = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
  2. Každý prvok A je v B → A ⊂ B.
  3. Číslo 4 je v B, ale nie v A → A ≠ B.
  4. A ⊂ B a A ≠ B. (Každý deliteľ čísla 6 je aj deliteľom čísla 12, lebo 6 delí 12.)

Najčastejšie chyby

  • Smer podmnožiny: A ⊂ B hovorí, že A je menšia alebo rovnaká. Je to „A je v B“, nie naopak.
  • Stačí pár prvkov: nestačí, že A a B majú niečo spoločné. Do B musí patriť každý prvok A.
  • Poradie prvkov: {1, 2, 3} a {3, 2, 1} sú rovnaké množiny.
  • Zabudnutá prázdna množina: ∅ ⊂ A platí pre každú množinu A.

V skratke

  • A ⊂ B: každý prvok A je aj v B.
  • A = B: A ⊂ B a zároveň B ⊂ A. Rovnaké prvky, na poradí nezáleží.
  • A ⊂ A a ∅ ⊂ A platí vždy.
  • Množiny zadané vlastnosťou najprv vypíš, až potom porovnávaj.

Skús si sám

  1. Platí {2, 5} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5}?
  2. Platí {0, 1} ⊂ N?
  3. Porovnaj A = {x ∈ Z; x² = 16} a B = {−4, 4}.
  4. Porovnaj A = {x ∈ N; x je prvočíslo, x < 10} a B = {x ∈ N; x je nepárne, x < 10}.
  5. Napíš všetky podmnožiny množiny {a, b}.

Riešenia

  1. Áno, 2 aj 5 sú vo väčšej množine.
  2. Nie, 0 ∉ N.
  3. A = {−4, 4}, preto A = B.
  4. A = {2, 3, 5, 7}, B = {1, 3, 5, 7, 9}. 2 ∈ A, ale 2 ∉ B. Aj 1 ∈ B, ale 1 ∉ A. Ani jedna nie je podmnožinou druhej.
  5. ∅, {a}, {b}, {a, b} — štyri podmnožiny. Nezabudni na prázdnu množinu aj na množinu samotnú.

Precvič si

👉 Ďalší článok: Prienik, zjednotenie, rozdiel a doplnok