Učiteľka telesnej výchovy povie: „Do volejbalového tímu idú všetci, ktorí merajú aspoň 175 cm.“ Ešte nikoho nemenovala, a predsa je jasné, kto do tímu patrí. Stačí odmerať každého žiaka.
Presne takto funguje množina. Je to skupina vecí, pri ktorej vieme o každej veci jednoznačne povedať, či do skupiny patrí, alebo nepatrí. Veci, ktoré do množiny patria, voláme prvky množiny.
Obsah
- Čo je množina
- Symboly ∈ a ∉
- Určenie množiny vymenovaním prvkov
- Určenie množiny charakteristickou vlastnosťou
- Prázdna množina
- Konečná a nekonečná množina
- Najčastejšie chyby
- V skratke
- Skús si sám
- Riešenia
- Precvič si
Čo je množina
Množinu si môžeš predstaviť ako vrecko, do ktorého dávame veci. Dôležité sú dve pravidlá:
- O každej veci musí byť jasné, či vo vrecku je, alebo nie je.
- Každá vec je vo vrecku najviac raz. Dvakrát tú istú vec nepočítame.
Množiny označujeme veľkými písmenami: A, B, C, M … Prvky píšeme do zložených zátvoriek { }.
Príklady:
- množina dní víkendu: {sobota, nedeľa},
- množina samohlások v slove „mama“: {a} — písmeno „a“ píšeme len raz,
- množina párnych čísel menších ako 10: {2, 4, 6, 8}.
⚠️ „Množina pekných filmov“ nie je množina. Čo je pekné, si každý určí inak, a tak sa nedá jednoznačne rozhodnúť, či film do nej patrí.
Symboly ∈ a ∉
To, že číslo 4 patrí do množiny A = {2, 4, 6, 8}, zapíšeme:
4 ∈ A — čítame „4 je prvkom A“ alebo „4 patrí do A“.
To, že číslo 5 do nej nepatrí, zapíšeme:
5 ∉ A — čítame „5 nie je prvkom A“.
💡 Znak ∈ pripomína písmeno „e“ ako „element“ (prvok). Prečiarknutý znak ∉ znamená opak, rovnako ako ≠ pri rovnosti.
Určenie množiny vymenovaním prvkov
Najjednoduchšie je vypísať všetky prvky:
A = {1, 2, 3, 6}
Pri vymenovaní platí:
- Na poradí nezáleží. {1, 2, 3, 6} a {6, 3, 2, 1} je tá istá množina.
- Prvky sa neopakujú. Zápis {1, 2, 2, 3} nepíšeme — správne je {1, 2, 3}.
Vymenovanie sa hodí, keď je prvkov málo. Ak ich je veľa, ale idú po sebe pravidelne, môžeme použiť tri bodky: {1, 2, 3, …, 100}.
Určenie množiny charakteristickou vlastnosťou
Druhý spôsob je povedať pravidlo, ktoré spĺňajú všetky prvky — a žiadna iná vec. Tomu pravidlu hovoríme charakteristická vlastnosť.
A = {x ∈ N; x je deliteľ čísla 6}
Čítame: „A je množina všetkých x z prirodzených čísel, pre ktoré platí, že x je deliteľ čísla 6.“
Zápis má tri časti:
| Časť | Význam |
|---|---|
| x ∈ N | z akých čísel vyberáme (tu prirodzené čísla 1, 2, 3, …) |
| ; | „pre ktoré platí“ |
| x je deliteľ čísla 6 | podmienka, ktorú musí x splniť |
Prvky nájdeme tak, že skúšame čísla jedno po druhom: 1 delí 6 ✓, 2 ✓, 3 ✓, 4 ✗, 5 ✗, 6 ✓. Väčšie čísla už 6 nedelia. Teda A = {1, 2, 3, 6}.
Riešený príklad 1
Vymenuj prvky množiny B = {x ∈ Z; −2 ≤ x < 3}.
- Vyberáme z celých čísel Z — teda aj nulu a záporné čísla.
- Podmienka: x je väčšie alebo rovné −2 a zároveň menšie ako 3.
- Pri „≤“ hraničné číslo patrí: −2 je v množine.
- Pri „<“ hraničné číslo nepatrí: 3 v množine nie je.
- B = {−2, −1, 0, 1, 2}.