Číselné množiny N, Z, Q, I, R

Číselné množiny N, Z, Q, I, R

Keď si malé dieťa počíta autíčka, stačia mu čísla 1, 2, 3, … Keď v zime sledujeme teplomer, potrebujeme aj −5 °C. Pri delení pizze na tri kúsky dostaneme 1/3. A keď meriame uhlopriečku štvorca so stranou 1 m, vyjde √2 m — číslo, ktoré sa zlomkom zapísať nedá.

Matematici čísla postupne „pridávali“ presne takto, podľa toho, čo bolo treba. Tak vzniklo päť číselných množín, ktoré do seba zapadajú ako krabice v krabici.

Obsah

Prirodzené čísla N

N = {1, 2, 3, 4, …} — čísla, ktorými počítame veci.

Ak k nim pridáme aj nulu, dostaneme množinu N₀ = {0, 1, 2, 3, …} (nezáporné celé čísla).

⚠️ Nula do N nepatrí. Do N₀ áno.

V N vieme vždy sčítať a násobiť. Odčítať však nie: 3 − 5 = −2, a to už prirodzené číslo nie je.

Celé čísla Z

Z = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …} — prirodzené čísla, nula a čísla opačné k prirodzeným.

Celé čísla potrebujeme na teplotu pod nulou, dlh na účte či poschodia v podzemnej garáži. V Z sa dá sčítať, odčítať aj násobiť. Deliť však nie vždy: 7 : 2 = 3,5 nie je celé číslo.

Racionálne čísla Q

Racionálne číslo je každé číslo, ktoré sa dá zapísať ako zlomok a/b, kde a je celé číslo a b je prirodzené číslo.

Príklady: 1/2, −3/4, 5 (= 5/1), 0 (= 0/1), 0,75 (= 3/4), −2,5 (= −5/2).

Racionálne sú aj periodické desatinné čísla. Napríklad 0,333… = 1/3, lebo 1 : 3 = 0,333…

💡 Racionálne čísla poznáš podľa desatinného zápisu. Je buď konečný (0,75), alebo periodický — niektoré číslice sa donekonečna opakujú (0,1666… = 1/6).

Iracionálne čísla I

Iracionálne číslo sa zlomkom zapísať nedá. Jeho desatinný rozvoj je nekonečný a neperiodický — číslice sa nikdy pravidelne neopakujú.

Najznámejšie príklady:

  • √2 = 1,41421356… — uhlopriečka štvorca so stranou 1,
  • π = 3,14159265… — koľkokrát je obvod kruhu väčší ako jeho priemer,
  • √3, √5, √7 … — odmocnina z čísla, ktoré nie je druhou mocninou celého čísla.

⚠️ Nie každá odmocnina je iracionálna. √9 = 3 je celé číslo, √(1/4) = 1/2 je racionálne.

Reálne čísla R

Reálne čísla sú všetky racionálne a všetky iracionálne čísla dohromady. Sú to presne tie čísla, ktoré vieme nakresliť na číselnú os. Každý bod osi zodpovedá jednému reálnemu číslu.

Ako to do seba zapadá

Číselné množiny ako vnorené obdĺžniky: N vnútri Z, Z vnútri Q, Q a I spolu tvoria R
  • Každé prirodzené číslo je celé: N ⊂ Z.
  • Každé celé číslo je racionálne (5 = 5/1): Z ⊂ Q.
  • Každé racionálne číslo je reálne: Q ⊂ R.
  • Iracionálne čísla sú tiež reálne, ale s racionálnymi nemajú nič spoločné. Každé reálne číslo je buď racionálne, alebo iracionálne — nikdy nie oboje.

Zapisujeme: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R a I ⊂ R.

Ako rozhodnúť, kam číslo patrí

Postupuj vždy v rovnakom poradí:

  1. Zjednoduš číslo, ak sa dá: √16 = 4, 12/4 = 3, (√3)² = 3.
  2. Dá sa zapísať zlomkom? Ak nie → iracionálne: patrí do I a R. Koniec.
  3. Ak áno, je racionálne: patrí do Q a R.
  4. Je celé? Ak áno, patrí aj do Z.
  5. Je kladné celé? Ak áno, patrí aj do N.

Riešený príklad 1

Do ktorých množín patrí číslo −12/4?

  1. Zjednodušíme: −12/4 = −3.
  2. −3 sa dá zapísať zlomkom (−3/1), je racionálne → Q, R.
  3. −3 je celé → Z.
  4. −3 nie je kladné → do N nepatrí.
  5. −12/4 ∈ Z, Q, R.

Riešený príklad 2

Do ktorých množín patrí číslo √2 · √8?

  1. Zjednodušíme: √2 · √8 = √(2 · 8) = √16 = 4.
  2. 4 je racionálne, celé aj kladné.
  3. √2 · √8 ∈ N, Z, Q, R — hoci sme začali s dvoma iracionálnymi číslami!

Riešený príklad 3

Do ktorých množín patrí číslo √5 + 1?

  1. √5 sa zjednodušiť nedá, 5 nie je druhá mocnina celého čísla. √5 je iracionálne.
  2. Ak k iracionálnemu číslu pripočítame racionálne číslo, výsledok zostane iracionálny.
  3. √5 + 1 ∈ I, R.

Najčastejšie chyby

  • 0 ∈ N: nula do N nepatrí, patrí do N₀, Z, Q a R.
  • „Každá odmocnina je iracionálna“: √25 = 5 je prirodzené číslo.
  • „Desatinné číslo nie je racionálne“: 0,75 = 3/4 aj 0,333… = 1/3 sú racionálne.
  • Zabudnuté nadradené množiny: číslo 7 patrí do N, ale aj do Z, Q a R.
  • Racionálne aj iracionálne naraz: to sa nestane nikdy, tieto množiny nemajú spoločný prvok.

V skratke

  • N = {1, 2, 3, …}, N₀ = {0, 1, 2, …}, Z = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …}.
  • Q: čísla zapísateľné zlomkom — konečné aj periodické desatinné čísla.
  • I: čísla, ktoré sa zlomkom zapísať nedajú (√2, π) — nekonečné neperiodické desatinné čísla.
  • R = Q spolu s I — všetky body číselnej osi.
  • N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, I ⊂ R. Číslo je buď racionálne, alebo iracionálne.

Skús si sám

Urči, do ktorých z množín N, Z, Q, I, R patrí číslo:

  1. 17
  2. −8
  3. 2/7
  4. 1,25
  5. √36
  6. √10
  7. 0,121212…
  8. π/2

Riešenia

  1. 17 ∈ N, Z, Q, R.
  2. −8 ∈ Z, Q, R.
  3. 2/7 ∈ Q, R.
  4. 1,25 = 5/4 ∈ Q, R.
  5. √36 = 6 ∈ N, Z, Q, R.
  6. √10 ∈ I, R (10 nie je druhá mocnina celého čísla).
  7. 0,121212… je periodické, je to 12/99 = 4/33 ∈ Q, R.
  8. π/2 ∈ I, R. Ak iracionálne číslo vydelíme nenulovým racionálnym číslom, výsledok zostane iracionálny.

Precvič si

👉 Ďalší článok: Podmnožina a rovnosť množín