Vennove diagramy pre 4 množiny

Vennove diagramy pre 4 množiny

Kamaráti plánujú víkend a každý povie, čo by chcel robiť: kino, bowling, turistika, alebo hry doma. Pri štyroch možnostiach je kombinácií už naozaj veľa — niekto chce len kino, niekto kino aj turistiku, niekto všetko. Diagram so štyrmi množinami ukáže všetky kombinácie naraz. Najprv ho však treba vedieť správne nakresliť.

V maturitných požiadavkách sa Vennove diagramy uvádzajú pre 2 až 4 množiny. Štyri množiny sú teda horná hranica toho, čo by si mal zvládnuť.

Obsah

Prečo nestačia štyri kruhy

Pri dvoch množinách mal diagram 4 časti, pri troch 8. Každá ďalšia množina počet častí zdvojnásobí, lebo každý prvok sa rozhoduje znova „patrí / nepatrí“. Pri štyroch množinách potrebujeme

2 · 2 · 2 · 2 = 16 častí

(vrátane časti mimo všetkých množín).

Keď nakreslíš štyri kruhy, vždy ti niektoré kombinácie chýbajú. Štyri kruhy rozdelia rovinu najviac na 14 častí, nie na 16. Vždy teda chýba napríklad časť pre prvky, ktoré sú len v dvoch „protiľahlých“ množinách. Preto sa štyri množiny kreslia elipsami.

Diagram zo štyroch elíps

Vennov diagram zo štyroch šikmých elíps A, B, C, D so 16 očíslovanými časťami

Elipsy A a B sú naklonené jedným smerom, C a D druhým. Tak sa navzájom pretnú tak, že vznikne všetkých 16 kombinácií. Čísla 1 až 16 na obrázku len označujú časti. Hľadať v nich systém netreba.

Ako sa v diagrame orientovať

Pri každej časti si polož štyri otázky: Som v A? V B? V C? V D?

💡 Prst polož do časti a postupne obíď každú elipsu. Ak je prst vnútri elipsy, časť do tej množiny patrí.

Niekoľko orientačných bodov podľa obrázka:

  • Stred (časť 15) je vo všetkých štyroch množinách: A ∩ B ∩ C ∩ D.
  • Časť 1 je len v A, časť 8 len v D.
  • Časť 16 v rohu je mimo všetkých elíps.

Vyfarbovanie výrazov

Riešený príklad 1

Vyfarbi množinu A ∩ B.

  1. Hľadáme časti, ktoré ležia v elipse A aj v elipse B.
  2. Na C a D nezáleží — môžu tam byť, alebo nie.
  3. Takých častí je štyri: A ∩ B bez C a D, A ∩ B s C, A ∩ B s D a stred so všetkými štyrmi.
Vennov diagram štyroch množín: vyfarbená je spoločná časť elíps A a B

💡 Všimni si: každá podmienka „aj“ rozdelí počet častí na polovicu. A má 8 častí, A ∩ B 4, A ∩ B ∩ C 2 a A ∩ B ∩ C ∩ D len 1.

Riešený príklad 2

Vyfarbi množinu (A ∪ B) ∩ (C ∪ D).

  1. Výraz znamená: prvok je aspoň v jednej z A, B a zároveň aspoň v jednej z C, D.
  2. Prejdi časti a pri každej sa opýtaj dve otázky: Som v A alebo v B? Som v C alebo v D?
  3. Vyfarbíš len tie časti, kde je odpoveď dvakrát „áno“.
Vennov diagram štyroch množín: vyfarbené sú časti, ktoré ležia v A alebo B a zároveň v C alebo D

Počty v šestnástich častiach

Ak sú v častiach napísané počty prvkov, platí to isté ako pri troch množinách: sčítaj všetky časti, ktoré patria do hľadanej množiny.

Typické otázky:

  • Koľko prvkov má A ∩ B? Sčítaj štyri časti v prekryve A a B.
  • Koľko prvkov patrí práve do dvoch množín? Takých častí je šesť: AB, AC, AD, BC, BD, CD — vždy bez ostatných dvoch množín.
  • Koľko prvkov patrí aspoň do troch množín? Štyri časti „práve tri“ a stred.

💡 Pri štyroch množinách je ľahké na nejakú časť zabudnúť. Pomôže, keď si časti pred sčítaním vypíšeš a odškrtáš.

Najčastejšie chyby

  • Štyri kruhy: nevzniknú všetky kombinácie, správny diagram má 16 častí.
  • Zabudnutá časť mimo elíps: aj tá patrí medzi 16 častí.
  • Prienik bez „schovaných“ častí: A ∩ B nie je jedna časť, ale štyri.
  • „Práve dve“ vs. „aspoň dve“: pri „práve dvoch“ nesmú byť prvky v tretej ani štvrtej množine.

V skratke

  • Štyri množiny → 2⁴ = 16 častí, kreslíme ich štyrmi elipsami.
  • Pri každej časti zisti, v ktorých elipsách leží.
  • Každá podmienka „aj“ zmenší počet častí na polovicu: A má 8, A ∩ B 4, A ∩ B ∩ C 2.
  • Pri počtoch časti pred sčítaním vypíš a odškrtaj.

Skús si sám

  1. Koľko častí diagramu leží v množine A?
  2. Koľko častí tvorí množinu A ∩ B ∩ C?
  3. Koľko častí leží v práve jednej množine?
  4. Koľko častí tvorí množinu A′ ∩ B′ ∩ C′ ∩ D′? Kde je na obrázku?

Riešenia

  1. 8 častí — polovica zo 16.
  2. 2 časti: A ∩ B ∩ C bez D a stred so všetkými štyrmi.
  3. 4 časti: len A, len B, len C, len D.
  4. 1 časť — číslo 16 v rohu, mimo všetkých elíps.

Precvič si

👉 Späť na začiatok: Množina a jej určenie — úvod