Prienik, zjednotenie, rozdiel a doplnok

Prienik, zjednotenie, rozdiel a doplnok

Ty a tvoja kamarátka si porovnávate playlisty. Niektoré pesničky máte obe, niektoré len ty, niektoré len ona. Keď chcete pustiť niečo, čo sa páči obom, hľadáte prienik. Keď chcete spoločný playlist na párty, robíte zjednotenie. A keď jej chceš poslať tipy, ktoré ešte nepozná, hľadáš rozdiel.

S množinami sa počíta presne takto. V celom článku používame dve množiny:

A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7}

Obsah

Prienik A ∩ B

Prienik množín A a B tvoria prvky, ktoré sú v A aj v B — v oboch naraz.

A ∩ B — čítame „A prienik B“.

Vennov diagram: vyfarbená je len spoločná časť kruhov A a B

Pre naše množiny: A ∩ B = {4, 5}. Iba čísla 4 a 5 sú v oboch.

💡 Znak ∩ pripomína obrátené „U“, akoby misku dnom hore. Pomôcka: ∩ = „aj … aj“.

Zjednotenie A ∪ B

Zjednotenie tvoria prvky, ktoré sú aspoň v jednej z množín — v A, v B, alebo v oboch.

A ∪ B — čítame „A zjednotenie B“.

Vennov diagram: vyfarbené sú oba kruhy A a B celé

Pre naše množiny: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Čísla 4 a 5 píšeme len raz.

💡 Znak ∪ pripomína misku, do ktorej nasypeme všetko. Pomôcka: ∪ = „aspoň v jednej“.

Riešený príklad 1

Urči A ∩ B a A ∪ B pre A = {x ∈ N; x je deliteľ čísla 12} a B = {x ∈ N; x je deliteľ čísla 18}.

  1. Vymenujeme: A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}, B = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
  2. Prienik — čísla v oboch: A ∩ B = {1, 2, 3, 6}. Sú to spoločné delitele čísel 12 a 18.
  3. Zjednotenie — všetko, každé číslo raz: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18}.

Rozdiel A − B

Rozdiel A − B tvoria prvky, ktoré sú v A, ale nie v B. Z množiny A „vyhodíme“ všetko, čo je aj v B.

A − B — čítame „A mínus B“ alebo „rozdiel A a B“. Niekde sa píše aj A ∖ B.

Vennov diagram: vyfarbená je len časť kruhu A mimo kruhu B

Pre naše množiny: A − B = {1, 2, 3}.

⚠️ Na poradí záleží! B − A sú prvky B, ktoré nie sú v A: B − A = {6, 7}. To je úplne iná množina.

Vennov diagram: vyfarbená je len časť kruhu B mimo kruhu A

Doplnok A′

Pri doplnku potrebujeme základnú množinu U. To je množina všetkého, o čom práve hovoríme. Napríklad všetci žiaci triedy, alebo všetky čísla od 1 do 10.

Doplnok množiny A tvoria prvky základnej množiny U, ktoré nie sú v A.

A′ — čítame „doplnok A“. Je to vlastne rozdiel U − A.

Vennov diagram: vyfarbené je všetko v obdĺžniku U okrem kruhu A

Ak U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, tak A′ = {6, 7, 8, 9, 10}.

💡 Doplnok bez U nemá zmysel. Doplnok triedy v rámci školy sú ostatní žiaci školy, doplnok v rámci mesta sú všetci ostatní obyvatelia mesta.

Zložené výrazy

Operácie môžeme kombinovať. Najprv počítame, čo je v zátvorke, podobne ako pri číslach.

Riešený príklad 2

U = {1, 2, …, 10}, A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7}. Urči (A ∪ B)′.

  1. Zátvorka: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
  2. Doplnok v U — čo z U chýba: (A ∪ B)′ = {8, 9, 10}.
Vennov diagram: vyfarbená je len časť obdĺžnika U mimo oboch kruhov

Riešený príklad 3

Pre tie isté množiny urči A ∩ B′.

  1. B′ = prvky U, ktoré nie sú v B: B′ = {1, 2, 3, 8, 9, 10}.
  2. A ∩ B′ = prvky, ktoré sú v A aj v B′: {1, 2, 3}.
  3. Všimni si: vyšlo to isté ako A − B. Platí totiž A − B = A ∩ B′.

Disjunktné množiny

Ak dve množiny nemajú žiadny spoločný prvok, ich prienik je prázdny: A ∩ B = ∅. Takým množinám hovoríme disjunktné.

Vennov diagram: dva kruhy A a B sa vôbec nedotýkajú

Príklad: párne a nepárne čísla, alebo racionálne a iracionálne čísla.

Prehľad

OperáciaZápisSlovamiPre A = {1,…,5}, B = {4,…,7}
prienikA ∩ Bv A aj v B{4, 5}
zjednotenieA ∪ Baspoň v jednej{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
rozdielA − Bv A, ale nie v B{1, 2, 3}
rozdielB − Av B, ale nie v A{6, 7}
doplnokA′v U, ale nie v A{6, 7, 8, 9, 10} pre U = {1,…,10}

Najčastejšie chyby

  • Zámena ∩ a ∪: ∩ je „aj … aj“ (menšia množina), ∪ je „aspoň v jednej“ (väčšia množina).
  • Opakovanie prvkov v zjednotení: spoločné prvky píšeme len raz.
  • A − B = B − A: neplatí! Rozdiel nie je zameniteľný.
  • Doplnok bez U: vždy si zisti, čo je základná množina.
  • Prázdny prienik zapísaný ako {0}: ak nič spoločné nie je, výsledok je ∅.

V skratke

  • A ∩ B: prvky v A aj v B.
  • A ∪ B: prvky aspoň v jednej z množín, každý raz.
  • A − B: prvky A, ktoré nie sú v B. A − B ≠ B − A.
  • A′: prvky U, ktoré nie sú v A.
  • Najprv zátvorky. A − B = A ∩ B′.

Skús si sám

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {1, 3, 5, 7}, B = {3, 4, 5, 6}.

  1. A ∩ B
  2. A ∪ B
  3. A − B
  4. B − A
  5. A′
  6. (A ∩ B)′
  7. A′ ∩ B′

Riešenia

  1. A ∩ B = {3, 5}
  2. A ∪ B = {1, 3, 4, 5, 6, 7}
  3. A − B = {1, 7}
  4. B − A = {4, 6}
  5. A′ = {2, 4, 6, 8}
  6. (A ∩ B)′ = {1, 2, 4, 6, 7, 8}
  7. A′ = {2, 4, 6, 8}, B′ = {1, 2, 7, 8}, takže A′ ∩ B′ = {2, 8}. Je to to isté ako (A ∪ B)′ — čísla, ktoré nie sú ani v A, ani v B.

Precvič si

👉 Ďalší článok: Vennove diagramy pre 2 množiny