V ročníku sa žiaci učia angličtinu, nemčinu a španielčinu. Niekto sa učí jeden jazyk, niekto dva a niekto všetky tri. Učiteľ chce vedieť, koľkí sa neučia žiadny z nich. S tromi množinami sa už ľahko pomýliš. Vennov diagram ti však pomôže všetko usporiadať tak, že nikoho nezapočítaš dvakrát.
💡 Prečo práve osem? Každý prvok sa „rozhoduje“ trikrát: je v A, alebo nie? V B? V C? To je 2 · 2 · 2 = 8 možností. Pri dvoch množinách to bolo 2 · 2 = 4.
Vyfarbovanie výrazov
Postup je rovnaký ako pri dvoch množinách: prejdi všetkých osem častí a pri každej rozhodni, či do množiny patrí.
Riešený príklad 1
Vyfarbi množinu A − (B ∪ C).
Výraz znamená: prvky A, ktoré nie sú v B ani v C.
Z častí kruhu A (1, 3, 5, 7) vyhodíme tie, ktoré ležia aj v B alebo v C (3, 5, 7).
Zostane len časť 1.
Riešený príklad 2
Vyfarbi množinu (A ∩ B) ∪ C.
A ∩ B: časti 3 a 7.
C: časti 4, 5, 6, 7.
Zjednotenie: časti 3, 4, 5, 6, 7.
Prienik všetkých troch, A ∩ B ∩ C, je len stredná časť 7:
Čítanie počtov z diagramu
Niekedy je v každej časti napísané, koľko prvkov v nej je. Vtedy stačí sčítať správne časti.
Na diagrame nižšie je v časti „len A“ číslo 9, v strede 4 atď.
|A| = 9 + 5 + 3 + 4 = 21 (všetky časti kruhu A),
|A ∩ B| = 5 + 4 = 9 (časti 3 a 7),
práve v jednej množine: 9 + 6 + 7 = 22,
aspoň v dvoch množinách: 5 + 3 + 2 + 4 = 14.
⚠️ „A ∩ B“ obsahuje aj stred. Prvky vo všetkých troch množinách sú totiž aj v A aj v B.
Slovná úloha: vypĺňanie od stredu
V ročníku je 40 žiakov. Angličtinu sa učí 21, nemčinu 17, španielčinu 16. Angličtinu aj nemčinu 9, angličtinu aj španielčinu 7, nemčinu aj španielčinu 6 a všetky tri jazyky 4 žiaci. Koľko žiakov sa neučí žiadny z týchto jazykov?
Zlaté pravidlo: začni od stredu a postupuj von. Čísla „angličtina aj nemčina“ totiž zahŕňajú aj tých, ktorí sa učia všetky tri jazyky.
Stred: všetky tri jazyky — 4.
Dvojice bez stredu:
- angličtina a nemčina, ale nie španielčina: 9 − 4 = 5,
- angličtina a španielčina, ale nie nemčina: 7 − 4 = 3,
- nemčina a španielčina, ale nie angličtina: 6 − 4 = 2.
Len jeden jazyk:
- len angličtina: 21 − 5 − 3 − 4 = 9,
- len nemčina: 17 − 5 − 2 − 4 = 6,
- len španielčina: 16 − 3 − 2 − 4 = 7.
Aspoň jeden jazyk: 4 + 5 + 3 + 2 + 9 + 6 + 7 = 36.
Žiadny jazyk: 40 − 36 = 4 žiaci.
Výsledok je presne diagram vyššie. 💡 Kontrola: súčet všetkých ôsmich čísel je 40 ✓.
Pre náročnejších: počet prvkov zjednotenia troch množín sa dá vypočítať aj vzorcom
21 + 17 + 16 − 9 − 7 − 6 + 4 = 36 ✓. Stred sa v prvých troch číslach započítal trikrát, potom sme ho trikrát odčítali, a tak ho raz musíme pridať späť. Vypĺňanie od stredu je však istejšie a ľahšie sa kontroluje.
Najčastejšie chyby
Vypĺňanie zvonka: „len angličtina = 21“ je chyba — 21 zahŕňa aj tých, ktorí sa učia ďalší jazyk.
Zabudnutý stred pri dvojiciach: „angličtina aj nemčina = 9“ obsahuje aj 4 žiakov so všetkými tromi jazykmi.
Dvakrát odčítaný stred: pri „len A“ odčítaj dvojice bez stredu a stred raz.
Bez kontroly: súčet ôsmich častí musí dať počet všetkých prvkov.
V skratke
Tri kruhy tvoria 8 častí (2 · 2 · 2).
Pri vyfarbovaní prejdi všetkých osem častí.
Pri počtoch sčítaj všetky časti, ktoré do množiny patria — aj stred.
Slovné úlohy: stred → dvojice (mínus stred) → „len jedna“ → mimo. Na záver kontrola súčtu.
Skús si sám
Ktoré časti (1–8) tvoria množinu (A ∪ B) − C?
Ktoré časti tvoria B ∩ C′?
Podľa diagramu s počtami vyššie: koľko prvkov má množina B ∪ C?
V klube je 50 členov. Beh robí 25, bicykel 20, plávanie 18. Beh aj bicykel 8, beh aj plávanie 6, bicykel aj plávanie 5 a všetky tri športy 3. Koľko členov nerobí žiadny z týchto športov? Koľkí robia len beh?
Riešenia
A ∪ B: časti 1, 2, 3, 5, 6, 7. Bez C (vyhodíme 5, 6, 7): časti 1, 2, 3.
B: časti 2, 3, 6, 7. Bez C: časti 2, 3.
B ∪ C = všetko v kruhoch B a C: 6 + 5 + 2 + 4 + 7 + 3 = 27.
Stred 3. Dvojice bez stredu: 8 − 3 = 5, 6 − 3 = 3, 5 − 3 = 2. Len beh: 25 − 5 − 3 − 3 = 14. Len bicykel: 20 − 5 − 2 − 3 = 10. Len plávanie: 18 − 3 − 2 − 3 = 10. Aspoň jeden šport: 3 + 5 + 3 + 2 + 14 + 10 + 10 = 47. Žiadny šport: 3 členovia. Len beh: 14 členov.
