Vennove diagramy pre 2 množiny

V triede je 28 žiakov. Na futbal chodí 15 z nich, na plávanie 12 a na oba krúžky 5. Koľkí nechodia na žiadny?

Ak sčítaš 15 + 12, vyjde 27. Zdá sa, že len jeden žiak nechodí nikam. Ale to je zle! Piati žiaci chodia na oba krúžky, a tak sme ich započítali dvakrát. Práve tu pomôže obrázok, ktorý v 19. storočí vymyslel anglický matematik John Venn.

Ako vyzerá Vennov diagram

Obdĺžnik predstavuje základnú množinu U — všetko, o čom hovoríme (napríklad všetkých žiakov triedy).
Každá množina je kruh vnútri obdĺžnika.
Kruhy sa prekrývajú. V prekryve sú prvky, ktoré patria do oboch množín.

Štyri časti diagramu

Dva kruhy rozdelia obdĺžnik na štyri časti:

Vennov diagram pre dve množiny s očíslovanými časťami 1 až 4

Časť	Kto v nej je	Zápis
1	len v A	A − B
2	v A aj v B	A ∩ B
3	len v B	B − A
4	ani v A, ani v B	(A ∪ B)′

Každý prvok základnej množiny leží v práve jednej z týchto štyroch častí. To je celé tajomstvo Vennových diagramov.

Operácie v diagrame

Každú operáciu vieme ukázať vyfarbením niektorých častí:

Množina	Vyfarbené časti
A	1, 2
A ∩ B	2
A ∪ B	1, 2, 3
A − B	1
A′	3, 4
(A ∪ B)′	4
(A ∩ B)′	1, 3, 4

Ako vyfarbiť zložený výraz

Pri zloženom výraze neháduj tvar. Prejdi všetky štyri časti a pri každej sa opýtaj, či do množiny patrí.

Riešený príklad 1

Vyfarbi množinu A′ ∩ B.

A′ ∩ B tvoria prvky, ktoré nie sú v A a sú v B.
Časť 1 (len A): je v A → nepatrí.
Časť 2 (A aj B): je v A → nepatrí.
Časť 3 (len B): nie je v A a je v B → patrí.
Časť 4 (mimo): nie je v B → nepatrí.
Vyfarbíme len časť 3. A′ ∩ B je to isté ako B − A.

Počet prvkov zjednotenia

Počet prvkov množiny A zapisujeme |A|. Pre dve množiny platí:

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

Prečo mínus? Prvky prieniku sú započítané v |A| aj v |B|, teda dvakrát. Raz ich preto odčítame.

Slovné úlohy krok za krokom

Vráťme sa k úlohe zo začiatku: 28 žiakov, futbal 15, plávanie 12, oboje 5.

Postup: vypĺňaj diagram od stredu.

Stred (oboje): 5 žiakov.
Len futbal: 15 − 5 = 10. (Z 15 futbalistov je 5 aj plavcov.)
Len plávanie: 12 − 5 = 7.
Aspoň jeden krúžok: 10 + 5 + 7 = 22. Rovnako podľa vzorca: 15 + 12 − 5 = 22.
Žiadny krúžok: 28 − 22 = 6 žiakov.

Vennov diagram s počtami žiakov: len futbal 10, oba krúžky 5, len plávanie 7, mimo 6

💡 Kontrola: všetky štyri čísla v diagrame musia dať spolu počet všetkých žiakov. 10 + 5 + 7 + 6 = 28 ✓.

Riešený príklad 2

V ankete odpovedalo 40 rodín. Psa má 18 rodín, mačku 14 rodín a 15 rodín nemá ani psa, ani mačku. Koľko rodín má psa aj mačku?

Aspoň jedno zviera má 40 − 15 = 25 rodín. To je |A ∪ B|.
Podľa vzorca 25 = 18 + 14 − |A ∩ B|.
|A ∩ B| = 18 + 14 − 25 = 7 rodín.
Kontrola: len pes 18 − 7 = 11, len mačka 14 − 7 = 7, oboje 7, nič 15. Spolu 11 + 7 + 7 + 15 = 40 ✓.

Najčastejšie chyby

Sčítanie bez odčítania prieniku: 15 + 12 nie je počet žiakov na krúžkoch, prienik je tam dvakrát.
„15 na futbal“ ako „len futbal“: číslo 15 zahŕňa aj tých, ktorí chodia aj na plávanie.
Zabudnutá časť mimo kruhov: nie každý prvok U musí byť v niektorej množine.
Vypĺňanie zvonka: začni vždy prienikom, potom „len A“ a „len B“.

V skratke

Obdĺžnik = základná množina U, kruhy = množiny.
Dva kruhy tvoria 4 časti: len A, A aj B, len B, mimo.
Pri vyfarbovaní prejdi každú časť a rozhodni, či patrí do množiny.
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Slovné úlohy: vypĺňaj od stredu, nakoniec skontroluj súčet.

Skús si sám

Ktoré časti (1–4) vyfarbíš pre množinu A ∪ B′?
|A| = 20, |B| = 13, |A ∩ B| = 6. Koľko je |A ∪ B|?
V triede je 30 žiakov. Angličtinu sa učí 24, nemčinu 11 a oba jazyky 8. Koľko žiakov sa neučí ani jeden z týchto jazykov?
Na výlete bolo 35 žiakov. Zmrzlinu si kúpilo 20, limonádu 18 a nič z toho si nekúpilo 5. Koľko žiakov si kúpilo zmrzlinu aj limonádu?

Riešenia

Časti 1, 2 (sú v A) a časť 4 (nie je v B). Spolu časti 1, 2, 4 — všetko okrem „len B“.
|A ∪ B| = 20 + 13 − 6 = 27.
Aspoň jeden jazyk: 24 + 11 − 8 = 27. Žiadny: 30 − 27 = 3 žiaci.
Aspoň jedno: 35 − 5 = 30. Oboje: 20 + 18 − 30 = 8 žiakov.

Precvič si

👉 Ďalší článok: Vennove diagramy pre 3 množiny