Nepriama úmernosť

Nepriama úmernosť je typ funkcie, kde keď jedna veličina rastie, druhá klesá – a naopak. Stretneš sa s ňou pri úlohách o robotníkoch a čase, rýchlosti a čase, alebo tlaku a objeme. V tomto článku si ju podrobne vysvetlíme.

Obsah článku

Čo je nepriama úmernosť
Konštanta úmernosti k
Tabuľka nepriamej úmernosti
Graf – hyperbola
Vlastnosti grafu
Príklady z praxe
Definičný obor a obor hodnôt
Ako rozpoznať nepriamu úmernosť
Precvičovanie

Čo je nepriama úmernosť

Nepriama úmernosť je funkcia tvaru:

y = \frac{k}{x}

kde $k$ je nenulová konštanta.

Kľúčová vlastnosť:

Keď sa $x$ zväčší $n$ -krát, $y$ sa $n$ -krát zmenší (a naopak).

Súčin $x \cdot y$ je vždy konštantný a rovný $k$ :

x \cdot y = k

Konštanta úmernosti k

Konštanta $k$ je súčin ľubovoľnej dvojice $x$ a $y$ :

k = x \cdot y

Príklad: Ak 4 robotníci dokončia prácu za 6 hodín, tak

k = 4 \cdot 6 = 24

$k > 0$ → hyperbola leží v I. a III. kvadrante
$k < 0$ → hyperbola leží v II. a IV. kvadrante

Tabuľka nepriamej úmernosti

Pre funkciu $f (x) = \frac{12}{x}$ (teda $k = 12$ ):

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$6$	$12$
$f (x)$	$12$	$6$	$4$	$3$	$2$	$1$

Kontrola:

x \cdot f (x) = 12

pre každý stĺpec.

$1 \cdot 12 = 12$ ✓
$2 \cdot 6 = 12$ ✓
$3 \cdot 4 = 12$ ✓
$4 \cdot 3 = 12$ ✓

Pre záporné $x$ :

$x$	$- 12$	$- 6$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$
$f (x)$	$- 1$	$- 2$	$- 3$	$- 4$	$- 6$	$- 12$

Graf – hyperbola

Graf nepriamej úmernosti sa nazýva hyperbola. Skladá sa z dvoch vetiev.

Graf y = 12/x

Vlastnosti grafu

Graf nepriamej úmernosti (hyperbola) má tieto dôležité vlastnosti:

Nikdy nepretne os $x$ – lebo $\frac{k}{x}$ nikdy nie je nula
Nikdy nepretne os $y$ – lebo pre $x = 0$ funkcia nie je definovaná
Osi sú asymptoty – graf sa k nim nekonečne blíži, ale nikdy ich nedosiahne
Dve vetvy – jedna v I. a III. kvadrante (pre $k > 0$ ), alebo v II. a IV. (pre $k < 0$ )
Stred symetrie je počiatok $[0, 0]$

⚠️ Asymptota je priamka, ku ktorej sa graf nekonečne blíži, ale nikdy ju nedosiahne.

Príklady z praxe

Robotníci a čas

6 robotníkov dokončí prácu za 10 dní. Koľko dní to bude trvať 15 robotníkom?

$k = 6 \cdot 10 = 60$
Predpis: $t = \frac{60}{n}$ , kde $n$ = počet robotníkov, $t$ = čas v dňoch

t = \frac{60}{15} = 4 dn \overset{ı}{ˊ}

robotníci	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$10$	$12$	$15$
dní	$30$	$20$	$15$	$12$	$10$	$6$	$5$	$4$

Rýchlosť a čas pri konštantnej vzdialenosti

Vzdialenosť do školy je 12 km.

Predpis: $t = \frac{12}{v}$ , kde $v$ = rýchlosť (km/h), $t$ = čas (h)

rýchlosť (km/h)	$4$	$6$	$12$	$24$
čas (h)	$3$	$2$	$1$	$0, 5$

💡 Čím rýchlejšie ideš, tým skôr prídeš – to je nepriama úmernosť.

Cena za jednu vec pri skupinovom nákupe

Darček za 60 € kúpia spoločne kamaráti. Každý platí rovnako.

Predpis: $c = \frac{60}{n}$ , kde $n$ = počet kamarátov, $c$ = cena na osobu

Definičný obor a obor hodnôt

Pre $f (x) = \frac{k}{x}$ :

D (f) = R ∖ {0}

Nemôžeme dosadiť $x = 0$ (delenie nulou).

H (f) = R ∖ {0}

Funkcia nikdy nenadobudne hodnotu $y = 0$ .

👉 Podrobnejšie: Definičný obor funkcie | Obor hodnôt funkcie

Ako rozpoznať nepriamu úmernosť

Nepriamu úmernosť rozpoznáš podľa:

Predpis má tvar $y = \frac{k}{x}$ alebo $x y = k$
Graf je hyperbola (dve vetvy, nepretína osi)
Tabuľka – súčin $x \cdot y$ je pre všetky riadky rovnaký
Slovne – „čím viac jedného, tým menej druhého" v rovnakom pomere

Porovnanie s priamou úmernosťou

	Priama úmernosť	Nepriama úmernosť
Predpis	$y = k x$	$y = \frac{k}{x}$
Konštantné	podiel $\frac{y}{x} = k$	súčin $x \cdot y = k$
Graf	priamka cez $[0, 0]$	hyperbola
Správanie	obe rastú/klesajú spolu	jedna rastie, druhá klesá

Precvičovanie

Zostav tabuľku pre $y = \frac{24}{x}$ pre $x \in {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}$
8 robotníkov dokončí prácu za 15 dní. Za koľko dní ju dokončí 12 robotníkov?
Nakresli graf $y = \frac{6}{x}$ pre kladné $x$
Je $y = \frac{5}{x} + 2$ nepriama úmernosť? Prečo áno/nie?

Interaktívne cvičenia:

📖 Ďalšie články v téme Funkcie:
Funkcie - Kompletný sprievodca
Priama úmernosť
Lineárna funkcia
Definičný obor funkcie
Obor hodnôt funkcie
Prehľad vzorcov a pojmov

Nepriama úmernosť (8. a 9. ročník) – vysvetlenie a graf