Priama úmernosť

Priama úmernosť je najjednoduchší typ funkcie. Stretneš sa s ňou všade: cena za kilogramy, mzda za hodiny práce, prejdená vzdialenosť pri konštantnej rýchlosti. V tomto článku sa naučíš jej predpis, graf a praktické využitie.

Obsah článku

Čo je priama úmernosť
Koeficient úmernosti k
Tabuľka priamej úmernosti
Graf priamej úmernosti
Porovnanie grafov pre rôzne k
Príklady z praxe
Ako rozpoznať priamu úmernosť
Precvičovanie

Čo je priama úmernosť

Priama úmernosť je funkcia tvaru:

y = k x

kde $k$ je nenulová konštanta nazývaná koeficient priamej úmernosti.

Kľúčová vlastnosť:

Keď sa $x$ zväčší $n$ -krát, $y$ sa tiež zväčší $n$ -krát.

Napríklad: ak 1 kg jabĺk stojí 1,50 €, tak 3 kg stoja $3 \times 1, 50 = 4, 50$ €. Trojnásobný nákup = trojnásobná cena.

Koeficient úmernosti k

Koeficient $k$ určuje rýchlosť rastu funkcie:

$k > 0$ → funkcia je rastúca (keď $x$ rastie, $y$ tiež rastie)
$k < 0$ → funkcia je klesajúca (keď $x$ rastie, $y$ klesá)
$∣ k ∣$ veľké → priamka je strmá
$∣ k ∣$ malé → priamka je pozvoľná

Koeficient $k$ môžeme vypočítať:

k = \frac{y}{x}

pre ľubovoľný bod $[x, y]$ na grafe (okrem $[0, 0]$ ).

Tabuľka priamej úmernosti

Pre funkciu $f (x) = 2 x$ :

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f (x)$	$- 6$	$- 4$	$- 2$	$0$	$2$	$4$	$6$

💡 Všimni si: Pre $x = 0$ je vždy $f (0) = k \cdot 0 = 0$ . Graf priamej úmernosti vždy prechádza počiatkom $[0, 0]$ .

Pre funkciu $f (x) = - x$ :

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f (x)$	$3$	$2$	$1$	$0$	$- 1$	$- 2$	$- 3$

Graf priamej úmernosti

Graf priamej úmernosti je priamka prechádzajúca počiatkom $[0, 0]$ .

Graf y = 2x

Porovnanie grafov pre rôzne k

Porovnajme grafy: $y = 2 x$ , $y = 0, 5 x$ a $y = - x$

Funkcia	$k$	Typ	Strmosť
$y = 2 x$	$2$	rastúca	strmá
$y = 0, 5 x$	$0, 5$	rastúca	pozvoľná
$y = - x$	$- 1$	klesajúca	stredná

💡 Pozoruj: Všetky tri priamky prechádzajú bodom $[0, 0]$ – to je znak priamej úmernosti.

Príklady z praxe

Cena za kilogramy

Jablká stoja 2 € za kilogram.

Predpis: $f (x) = 2 x$ , kde $x$ = počet kg, $y$ = cena v €
$k = 2$ (cena za 1 kg)

kg	$0, 5$	$1$	$2$	$3$	$5$
cena (€)	$1$	$2$	$4$	$6$	$10$

Rýchlosť a vzdialenosť

Auto ide konštantnou rýchlosťou 60 km/h.

Predpis: $s = 60 t$ , kde $t$ = čas v hodinách, $s$ = vzdialenosť v km
$k = 60$

čas (h)	$0, 5$	$1$	$1, 5$	$2$	$3$
vzdialenosť (km)	$30$	$60$	$90$	$120$	$180$

Obvod štvorca

Predpis: $o = 4 a$ , kde $a$ = strana, $o$ = obvod
$k = 4$

Ako rozpoznať priamu úmernosť

Priamu úmernosť rozpoznáš podľa týchto znakov:

Predpis má tvar $y = k x$ (bez konštanty $q$ )
Graf je priamka prechádzajúca bodom $[0, 0]$
Tabuľka – podiel $\frac{y}{x}$ je pre všetky riadky rovnaký (a rovný $k$ )
Slovne – „čím viac $x$ , tým viac $y$ " (resp. pri $k < 0$ „čím viac $x$ , tým menej $y$ ") v rovnakom pomere

⚠️ Pozor: Funkcia $y = 2 x + 3$ nie je priama úmernosť (má konštantu $q = 3$ ). Je to lineárna funkcia.

Precvičovanie

Nakresli graf funkcie $y = 3 x$ pre $x \in {- 2, - 1, 0, 1, 2}$
Aký je koeficient $k$ , ak vieme, že $f (4) = 12$ ?
Auto jazdí rýchlosťou 80 km/h. Zapíš funkciu vzdialenosť/čas a nakresli graf.
Je $y = 5 x - 2$ priama úmernosť? Prečo áno/nie?

Interaktívne cvičenia:

📖 Ďalšie články v téme Funkcie:
Funkcie - Kompletný sprievodca
Nepriama úmernosť
Lineárna funkcia
Funkcie - Zobrazenie v grafe
Prehľad vzorcov a pojmov

Priama úmernosť (8. a 9. ročník) – vysvetlenie a graf