Lineárna funkcia

Lineárna funkcia je najdôležitejší typ funkcie v základnej škole. Jej grafom je priamka a stretneš sa s ňou v mnohých úlohách. V tomto článku sa naučíš všetko, čo o nej potrebuješ vedieť.

Obsah článku

Čo je lineárna funkcia
Parameter k – smernica
Parameter q – priesečník s osou y
Ako nakresliť graf
Špeciálne prípady
Rastúca a klesajúca funkcia
Rovnobežné priamky
Porovnanie grafov
Ako zistiť predpis z grafu
Precvičovanie

Čo je lineárna funkcia

Lineárna funkcia je funkcia tvaru:

y = k x + q

kde:

$k$ je smernica (slope) – udáva sklon priamky
$q$ je absolútny člen – udáva priesečník s osou $y$

Grafom lineárnej funkcie je vždy priamka.

Parameter k – smernica

Smernica $k$ hovorí, o koľko sa zmení $y$ , keď $x$ vzrastie o $1$ .

k = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

$k > 0$ → priamka stúpa zľava doprava (rastúca funkcia)
$k < 0$ → priamka klesá zľava doprava (klesajúca funkcia)
$k = 0$ → priamka je vodorovná (konštantná funkcia)
$∣ k ∣$ veľké → priamka je strmá
$∣ k ∣$ malé → priamka je pozvoľná

Príklady:

$y = 3 x + 1$ : smernica $k = 3$ (strmá, rastúca)
$y = 0, 5 x - 2$ : smernica $k = 0, 5$ (pozvoľná, rastúca)
$y = - 2 x + 4$ : smernica $k = - 2$ (strmá, klesajúca)

Parameter q – priesečník s osou y

Parameter $q$ je hodnota funkcie v bode $x = 0$ :

f (0) = k \cdot 0 + q = q

Priesečník s osou $y$ je bod $[0, q]$ .

Príklady:

$y = 2 x + 3$ : priesečník s osou $y$ je bod $[0, 3]$
$y = - x - 1$ : priesečník s osou $y$ je bod $[0, - 1]$
$y = 5 x$ : priesečník s osou $y$ je bod $[0, 0]$ → prechádza počiatkom

Ako nakresliť graf

Na nakreslenie priamky stačia 2 body (tretí pre kontrolu):

Metóda 1: Tabuľka

Zvoľ 2-3 hodnoty $x$ (napr. $0, 1, 2$ )
Vypočítaj $f (x)$ pre každé $x$
Nanies body do sústavy súradníc
Spoj ich priamkou

Metóda 2: Priesečník + smernica

Nakresli bod $[0, q]$ (priesečník s osou $y$ )
Z tohto bodu sa posuň o $1$ doprava a o $k$ hore (ak $k > 0$ ) alebo dole (ak $k < 0$ )
Spoj body priamkou

Príklad:

f (x) = 2 x + 1

$x$	$0$	$1$	$2$
$f (x)$	$1$	$3$	$5$

💡 Červené čiary ukazujú smernicu: posuň sa o $1$ doprava (+1 na osi $x$ ) a o $2$ hore (+2 na osi $y$ ). Smernica $k = 2$ .

Špeciálne prípady

q = 0 → priama úmernosť

Ak $q = 0$ , lineárna funkcia sa zredukuje na $y = k x$ – priamu úmernosť.

Graf prechádza počiatkom $[0, 0]$ .

👉 Podrobnejšie: Priama úmernosť

k = 0 → konštantná funkcia

Ak $k = 0$ , funkcia sa zredukuje na $y = q$ – konštantnú funkciu.

Graf je vodorovná priamka prechádzajúca bodom $[0, q]$ .

k = 0 a q = 0

Funkcia $y = 0$ . Graf splýva s osou $x$ .

Rastúca a klesajúca funkcia

Podmienka	Typ	Graf
$k > 0$	rastúca	stúpa zľava doprava
$k < 0$	klesajúca	klesá zľava doprava
$k = 0$	konštantná	vodorovná priamka

Rovnobežné priamky

Dve lineárne funkcie majú rovnobežné grafy, ak majú rovnakú smernicu $k$ .

Príklad:

y = 2 x + 1

y = 2 x - 3

sú rovnobežné (obe majú

k = 2

Rovnobežné priamky sa nikdy nepretnú (majú rovnaký sklon, líšia sa len posunom).

Porovnanie grafov

Porovnajme tri funkcie s rôznymi smernicami: $y = 2 x + 1$ , $y = - x + 2$ , $y = 0, 5 x - 1$

Funkcia	$k$	$q$	Typ	Priesečník s osou $y$
$y = 2 x + 1$	$2$	$1$	rastúca, strmá	$[0, 1]$
$y = - x + 2$	$- 1$	$2$	klesajúca	$[0, 2]$
$y = 0, 5 x - 1$	$0, 5$	$- 1$	rastúca, pozvoľná	$[0, - 1]$

Ako zistiť predpis z grafu

Ak máš graf a chceš zistiť predpis $y = k x + q$ :

Krok 1: Zisti q

Nájdi bod, kde graf pretína os $y$ . Súradnica $y$ tohto bodu je $q$ .

Krok 2: Zisti k

Nájdi dva body na priamke, napr. $[x_{1}, y_{1}]$ a $[x_{2}, y_{2}]$ .

k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

Príklad

Graf pretína os $y$ v bode $[0, - 2]$ a prechádza bodom $[3, 4]$ .

$q = - 2$
$k = \frac{4 - ( - 2 )}{3 - 0} = \frac{6}{3} = 2$
Predpis: $y = 2 x - 2$

Precvičovanie

Nakresli graf $y = - 2 x + 4$ a urči priesečníky s oboma osami
Urči predpis lineárnej funkcie, ktorá prechádza bodmi $[1, 5]$ a $[3, 11]$
Sú priamky $y = 3 x + 1$ a $y = 3 x - 7$ rovnobežné?
Nakresli do jedného grafu: $y = x + 2$ , $y = x - 1$ , $y = - x + 2$

Interaktívne cvičenia:

📖 Ďalšie články v téme Funkcie:
Funkcie - Kompletný sprievodca
Priama úmernosť
Nepriama úmernosť
Funkcie - Zobrazenie v grafe
Definičný obor funkcie
Obor hodnôt funkcie
Prehľad vzorcov a pojmov

Lineárna funkcia (8. a 9. ročník) – vysvetlenie, graf a príklady