Obor hodnôt funkcie

Obor hodnôt nám hovorí, aké hodnoty $y$ funkcia nadobúda. Kým definičný obor sa pýta na $x$, obor hodnôt sa pýta na $y$. V tomto článku sa naučíš obor hodnôt určiť z predpisu aj z grafu.

---

Obsah článku

• Čo je obor hodnôt
• Značenie
• Obor hodnôt lineárnej funkcie
• Obor hodnôt konštantnej funkcie
• Obor hodnôt pre y = x²
• Obor hodnôt pre y = √x
• Čítanie z grafu
• Porovnanie D(f) a H(f)
• Precvičovanie

---

Čo je obor hodnôt

Obor hodnôt funkcie $f$ (značíme $H(f)$) je množina všetkých hodnôt $y$, ktoré funkcia nadobúda.

Inak povedané: sú to všetky čísla, ktoré sa môžu objaviť ako výstup funkcie.

💡 Jednoduchá otázka: Aké hodnoty $y$ sa dajú dostať z tejto funkcie?

---

Značenie

Obor hodnôt zapisujeme:

Napríklad:

• $H(f)=\mathbb{R}$ (funkcia nadobúda všetky reálne hodnoty)
• $H(f)=⟨0,+\infty )$ (funkcia nadobúda len nezáporné hodnoty)
• $H(f)=\{5\}$ (funkcia nadobúda len jednu hodnotu)

---

Obor hodnôt lineárnej funkcie

Pre lineárnu funkciu $f(x)=kx+q$ (kde $k\ne 0$):

Lineárna funkcia nadobúda všetky reálne hodnoty. Jej graf (priamka) siaha od $-\infty$ do $+\infty$ v smere osi $y$.

Príklady:

• $f(x)=3x+2$ → $H(f)=\mathbb{R}$
• $f(x)=-x+7$ → $H(f)=\mathbb{R}$
• $f(x)=0,5x$ → $H(f)=\mathbb{R}$

---

Obor hodnôt konštantnej funkcie

Pre konštantnú funkciu $f(x)=q$ (kde $k=0$):

Funkcia nadobúda iba jednu hodnotu, nech dosadíme akékoľvek $x$.

Príklady:

• $f(x)=5$ → $H(f)=\{5\}$
• $f(x)=-3$ → $H(f)=\{-3\}$

---

Obor hodnôt pre y = x²

Pre funkciu $f(x)=x^2$:

• $x^2$ je vždy nezáporné (štvorec akéhokoľvek čísla je $\ge 0$)
• Najmenšia hodnota je $f(0)=0$
• Funkcia rastie do nekonečna

Všeobecnejšie: $f(x)=x^2+q$

• $H(f)=⟨q,+\infty )$

Príklady:

• $f(x)=x^2+3$ → $H(f)=⟨3,+\infty )$
• $f(x)=x^2-5$ → $H(f)=⟨-5,+\infty )$

---

Obor hodnôt pre y = √x

Pre funkciu $f(x)=\sqrt{x}$:

• Odmocnina je vždy nezáporná
• Najmenšia hodnota je $f(0)=0$
• Funkcia rastie do nekonečna

---

Čítanie z grafu

Obor hodnôt z grafu určíme tak, že sa pozrieme, aký rozsah pokrýva graf na osi $y$.

Postup:

1. Pozri sa na graf
2. Zisti, aká je najnižšia hodnota $y$, ktorú graf dosahuje
3. Zisti, aká je najvyššia hodnota $y$, ktorú graf dosahuje
4. Obor hodnôt je interval medzi nimi

💡 Tip: Predstav si, že „svietiš" na graf zhora a zdola. Tieň na osi $y$ je obor hodnôt.

---

Porovnanie D(f) a H(f)

---

Precvičovanie

Urči obor hodnôt nasledujúcich funkcií:

1. $f(x)=4x-1$
2. $f(x)=7$
3. $f(x)=x^2+2$
4. $f(x)=-x^2$

5. $f(x)=\sqrt{x+1}$

Interaktívne cvičenia:

• Cvičenie: Obor hodnôt

---

📖 Ďalšie články v téme Funkcie:

• Funkcie - Kompletný sprievodca
• Definičný obor funkcie
• Funkcie - Zobrazenie v grafe
• Lineárna funkcia
• Prehľad vzorcov a pojmov