Definičný obor funkcie

Definičný obor nám hovorí, aké hodnoty $x$ môžeme do funkcie dosadiť. Nie vždy totiž môžeme dosadiť ľubovoľné číslo. V tomto článku sa naučíš definičný obor určiť a správne zapísať.

---

Obsah článku

• Čo je definičný obor
• Značenie
• Definičný obor lineárnej funkcie
• Kedy nie je D(f) = R
• Zlomky - menovateľ nesmie byť nula
• Odmocniny - výraz pod odmocninou musí byť nezáporný
• Intervalový zápis
• Grafické znázornenie
• Precvičovanie

---

Čo je definičný obor

Definičný obor funkcie $f$ (značíme $D(f)$) je množina všetkých prípustných hodnôt $x$, pre ktoré je funkcia definovaná.

Inak povedané: sú to všetky čísla, ktoré môžeme do funkcie dosadiť, aby sme dostali zmysluplný výsledok.

💡 Jednoduchá otázka: Pre aké $x$ viem vypočítať $f(x)$?

---

Značenie

Definičný obor zapisujeme:

Napríklad:

• $D(f)=\mathbb{R}$ (všetky reálne čísla)
• $D(f)=\mathbb{R}\setminus \{0\}$ (všetky reálne čísla okrem nuly)
• $D(f)=⟨0,+\infty )$ (nezáporné reálne čísla)

---

Definičný obor lineárnej funkcie

Pre lineárnu funkciu $f(x)=kx+q$ platí:

Do lineárnej funkcie môžeme dosadiť ľubovoľné reálne číslo. Žiadne obmedzenie neexistuje.

Príklady:

• $f(x)=3x+2$ → $D(f)=\mathbb{R}$
• $f(x)=-x+7$ → $D(f)=\mathbb{R}$
• $f(x)=5x$ → $D(f)=\mathbb{R}$

To isté platí pre priamu úmernosť $f(x)=kx$: $D(f)=\mathbb{R}$.

---

Kedy nie je D(f) = R

Definičný obor nie je celé $\mathbb{R}$, keď sa vo funkcii vyskytuje:

V 8. a 9. ročníku sa najčastejšie stretneš so zlomkami a odmocninami.

---

Zlomky - menovateľ nesmie byť nula

Ak je vo funkcii zlomok, musíme zabezpečiť, že menovateľ nie je nula (delenie nulou nie je definované).

Príklad 1: $f(x)=\frac{1}{x}$

Menovateľ: $x$

Podmienka: $x\ne 0$

Príklad 2: $f(x)=\frac{3}{x-2}$

Menovateľ: $x-2$

Podmienka: $x-2\ne 0⟹x\ne 2$

Príklad 3: $f(x)=\frac{x+1}{x^2-4}$

Menovateľ: $x^2-4=(x-2)(x+2)$

Podmienka: $x\ne 2$ a $x\ne -2$

⚠️ Postup: Polož menovateľ = 0, vyrieš rovnicu, a nájdené $x$ vylúč z definičného oboru.

---

Odmocniny - výraz pod odmocninou musí byť nezáporný

Ak je vo funkcii odmocnina, výraz pod ňou musí byť $\ge 0$ (z reálnych čísel nevieme odmocniť záporné číslo).

Príklad 1: $f(x)=\sqrt{x}$

Podmienka: $x\ge 0$

Príklad 2: $f(x)=\sqrt{x-3}$

Podmienka: $x-3\ge 0⟹x\ge 3$

Príklad 3: $f(x)=\sqrt{4-x}$

Podmienka: $4-x\ge 0⟹x\le 4$

---

Intervalový zápis

Na zápis definičného oboru používame intervaly:

💡 Tip: Pri nekonečne ($\infty$) používame vždy okrúhlu zátvorku – nekonečno nie je číslo, nedá sa „dosiahnuť".

---

Grafické znázornenie

Na grafe vidíme definičný obor ako časť osi $x$, pre ktorú graf existuje.

---

Precvičovanie

Urči definičný obor nasledujúcich funkcií:

1. $f(x)=5x-3$
2. $f(x)=\frac{2}{x+1}$

3. $f(x)=\sqrt{x-5}$

1. $f(x)=\frac{1}{x^2-9}$

5. $f(x)=\sqrt{2x+6}$

Interaktívne cvičenia:

• Cvičenie: Definičný obor

---

📖 Ďalšie články v téme Funkcie:

• Funkcie - Kompletný sprievodca
• Obor hodnôt funkcie
• Lineárna funkcia
• Nepriama úmernosť
• Prehľad vzorcov a pojmov