Periodické vs ukončené desatinné rozvoje
Skús v hlave podeliť `1 ÷ 4`. Dostaneš pekné 0,25 — koniec. Skús ale `1 ÷ 3`. Dostaneš 0,333… — trojky idú donekonečna. Prečo?
Odpoveď je jednoduchá: záleží len na menovateli zlomku v základnom tvare.
Pravidlo
Zlomok `n/d` v základnom tvare:
- ukončený — ak menovateľ `d` má v rozklade na prvočinitele iba 2 a 5 (alebo nič);
- periodický — ak `d` obsahuje aj iné prvočinitele (3, 7, 11, 13, …).
Príklady — ukončené
| zlomok | desatinný rozvoj | menovateľ |
| 1/2 | 0,5 | 2 |
| 1/4 | 0,25 | 4 = 2·2 |
| 1/5 | 0,2 | 5 |
| 1/8 | 0,125 | 8 = 2³ |
| 3/20 | 0,15 | 20 = 2²·5 |
Príklady — periodické
| zlomok | desatinný rozvoj | menovateľ |
| 1/3 | 0,333… | 3 |
| 1/6 | 0,1666… | 6 = 2·3 |
| 1/7 | 0,142857142857… | 7 |
| 1/9 | 0,111… | 9 = 3² |
| 5/11 | 0,4545… | 11 |
V niektorých prípadoch (1/6, 1/12, …) sa rozvoj nezačína opakovať hneď — najprv máš pár pevných číslic a až potom prichádza perióda. To je tiež periodický desatinný rozvoj.
Prečo to funguje
Naša desatinná sústava má základ 10 = 2 × 5. Aby sa zlomok `n/d` „pekne" preložil na desatinné, potrebuješ menovateľ vyjadriť ako mocninu desiatky. To je možné len keď `d` má v rozklade iba 2 a 5.
Zápis ako mocnina 10: `1/8 = 125/1000` (vynásobili sme 125, lebo 8 × 125 = 1000). To je 0,125.
Ak má menovateľ aj 3 alebo 7 alebo iný „nepárny" prvočiniteľ, do mocniny desiatky to nikdy nedostaneš — preto sa rozvoj nutne opakuje.
Tipy na rozpoznanie
- Zlomok najprv skráť do základného tvaru.
- Pozri sa na menovateľ: ak ho vieš rozložiť iba na 2 a 5, je rozvoj ukončený.
- 6 = 2 × 3 → periodický. 12 = 2² × 3 → periodický. 21 = 3 × 7 → periodický.