Suma y resta de radicales

Suma y resta de radicales

En una cesta hay 3 manzanas y añadimos 5 manzanas: tenemos 8 manzanas. Pero si añadimos 5 peras, no son 8 manzanas ni 8 peras: siguen siendo 3 manzanas y 5 peras.

Con los radicales pasa lo mismo. 3√2 + 5√2 = 8√2, porque sumamos «cosas» iguales: raíces de dos. Pero √2 + √3 no se puede escribir como un solo número.

Índice

Radicales semejantes

Los términos con el mismo radical (radicales semejantes) se agrupan sumando o restando los números de delante. El radical se queda igual.

a√r + b√r = (a + b)√r

√2 sola significa 1 · √2: el 1 no se escribe.

Ejemplo resuelto 1

3√2 + 5√2 − √2

  1. Todos los términos tienen √2.
  2. Números de delante: 3 + 5 − 1 = 7.
  3. 3√2 + 5√2 − √2 = 7√2.

Primero, extrae factores

Radicales que parecen distintos pueden ser iguales después de extraer factores.

Ejemplo resuelto 2

√12 + √27

  1. √12 = √(4 · 3) = 2√3.
  2. √27 = √(9 · 3) = 3√3.
  3. 2√3 + 3√3 = 5√3.

Ejemplo resuelto 3

√50 − √18

  1. √50 = √(25 · 2) = 5√2.
  2. √18 = √(9 · 2) = 3√2.
  3. 5√2 − 3√2 = 2√2.

Varios términos y números delante del radical

Si hay un número delante del radical, lo multiplicamos por lo que extraemos de la raíz.

Ejemplo resuelto 4

2√48 − 3√12 + √3

  1. 2√48 = 2 · √(16 · 3) = 2 · 4√3 = 8√3.
  2. 3√12 = 3 · √(4 · 3) = 3 · 2√3 = 6√3.
  3. 8√3 − 6√3 + √3 = (8 − 6 + 1)√3 = 3√3.

Ejemplo resuelto 5

√8 + √12 − √18

  1. √8 = 2√2, √12 = 2√3, √18 = 3√2.
  2. 2√2 + 2√3 − 3√2 = −√2 + 2√3.
  3. √2 y √3 son radicales distintos y no se pueden agrupar más. Resultado: 2√3 − √2.

Raíces cúbicas

El procedimiento es el mismo, solo que al extraer factores buscamos cubos (8, 27, 64, 125…).

Ejemplo resuelto 6

∛16 + ∛54

  1. ∛16 = ∛(8 · 2) = 2∛2.
  2. ∛54 = ∛(27 · 2) = 3∛2.
  3. 2∛2 + 3∛2 = 5∛2.

⚠️ Una raíz cuadrada y una cúbica no se pueden agrupar: √2 + ∛2 se queda como está.

Errores más frecuentes

  • Sumar los radicandos. √2 + √3 no es √5. Comprobación: √2 + √3 ≈ 1,41 + 1,73 = 3,14, pero √5 ≈ 2,24.
  • Olvidar extraer factores. √12 + √27 parece una suma que no se puede agrupar, pero es 5√3.
  • Olvidar el 1. 5√3 − √3 = 4√3, no 5.
  • Olvidar el número de delante. 2√48 = 2 · 4√3 = 8√3, no 4√3.

En resumen

  • Solo se agrupan radicales semejantes (mismo índice y mismo radicando).
  • a√r + b√r = (a + b)√r: se suman los números de delante del radical.
  • Antes de sumar, extrae factores de cada radical.
  • Los términos con radicales distintos se dejan uno al lado del otro.

Pruébalo tú

  1. 4√5 − 7√5 + 2√5
  2. √20 + √45
  3. 3√8 − √32
  4. 2∛24 − ∛81
Soluciones:
  1. (4 − 7 + 2)√5 = −√5.
  2. 2√5 + 3√5 = 5√5.
  3. 3 · 2√2 − 4√2 = 6√2 − 4√2 = 2√2.
  4. 2 · 2∛3 − 3∛3 = 4∛3 − 3∛3 = ∛3.

Practica

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