Un huerto cuadrado tiene un área de 72 m². ¿Cuánto mide su lado? Buscamos un número que, elevado al cuadrado, dé 72, es decir, √72. La calculadora muestra 8,485 2…, un número que nunca termina. Solo podemos escribirlo de forma exacta con una raíz.
Pero √72 se puede simplificar a 6√2. Los dos números son iguales; la segunda forma es más corta y es más fácil calcular con ella. Este procedimiento se llama extraer factores de un radical.
La raíz cuadrada de un número a (se lee «raíz cuadrada de a», se escribe √a) es el número no negativo que, elevado al cuadrado, da a. Por ejemplo, √36 = 6, porque 6² = 36.
La raíz cúbica de un número a (se lee «raíz cúbica de a», se escribe ∛a) es el número que, elevado al cubo, da a. Por ejemplo, ∛8 = 2, porque 2³ = 8.
Una expresión con raíz se llama radical. El número que está debajo de la raíz es el radicando. El número pequeño arriba a la izquierda de ∛ es el índice: dice qué raíz es. En la raíz cuadrada el 2 no se escribe.
Conviene saberse los cuadrados y los cubos de los números pequeños:
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n²
4
9
16
25
36
49
64
81
100
n³
8
27
64
125
216
343
512
729
1000
La idea clave
La raíz de un producto es igual al producto de las raíces:
√(a · b) = √a · √b (para a ≥ 0, b ≥ 0)
Lo comprobamos con un ejemplo: √(4 · 9) = √36 = 6 y √4 · √9 = 2 · 3 = 6. Coincide.
Así que, si escribimos el radicando como un producto en el que un factor es un cuadrado, podemos sacar la raíz de ese cuadrado y ponerla delante del radical.
Paso a paso
Ejemplo resuelto 1
√72
Buscamos el mayor cuadrado que divide a 72. Probamos de mayor a menor: 64 no, 49 no, 36 sí: 72 = 36 · 2.
√72 = √(36 · 2) = √36 · √2.
√36 = 6, así que √72 = 6√2.
6√2 se lee «seis raíz de dos» y significa 6 · √2.
Ejemplo resuelto 2
√180
180 = 36 · 5.
√180 = √36 · √5 = 6√5.
Cómo encontrar el mayor cuadrado
Si no lo ves enseguida, descompón el número en factores primos y busca parejas: 180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5. De cada pareja sale un número delante de la raíz: 2 · 3 = 6. Debajo de la raíz se queda lo que no tiene pareja: 5. Así, √180 = 6√5.
💡 No pasa nada si primero sacas un cuadrado más pequeño: √72 = √(4 · 18) = 2√18. Pero 18 = 9 · 2 todavía contiene un cuadrado, así que sigues: 2√18 = 2 · 3√2 = 6√2. Has terminado cuando debajo de la raíz no queda ningún cuadrado aparte del 1.
Un número delante del radical
Si ya hay un número delante del radical, lo multiplicamos por lo que extraemos.
Ejemplo resuelto 3
3√50
50 = 25 · 2, así que √50 = 5√2.
3√50 = 3 · 5√2 = 15√2.
La raíz cúbica
En la raíz cúbica no buscamos un cuadrado, sino un cubo (una tercera potencia): 8, 27, 64, 125…
∛(a · b) = ∛a · ∛b
Ejemplo resuelto 4
∛54
54 = 27 · 2 y 27 = 3³.
∛54 = ∛27 · ∛2 = 3∛2.
Ejemplo resuelto 5
∛250
250 = 125 · 2 y 125 = 5³.
∛250 = 5∛2.
⚠️ En la raíz cúbica no basta con un cuadrado. ∛72 = ∛(8 · 9) = 2∛9: el 9 se queda dentro de la raíz cúbica, porque 9 no es un cubo.
Radicales con variables
Las variables se tratan igual. En la raíz cuadrada buscamos potencias pares: a² = a · a, a⁴ = a² · a². Suponemos a ≥ 0 para que las expresiones tengan sentido (y para que la raíz de a² sea realmente a).
Ejemplo resuelto 6
√(18a³), a ≥ 0
El número: 18 = 9 · 2.
La variable: a³ = a² · a.
√(18a³) = √(9a² · 2a) = √(9a²) · √(2a) = 3a√(2a).
Ejemplo resuelto 7
∛(16b⁵)
16 = 8 · 2, b⁵ = b³ · b².
∛(16b⁵) = ∛(8b³) · ∛(2b²) = 2b∛(2b²).
Errores más frecuentes
Simplificar a medias. √72 = 2√18 es correcto, pero no has terminado: 18 todavía contiene el cuadrado 9.
Sacar la raíz de una suma por partes. √(9 + 16) no es 3 + 4 = 7. Lo correcto es √25 = 5. La regla √(a · b) = √a · √b solo vale para un producto.
Dejar el factor extraído también dentro. √(36 · 2) es 6√2, no 6√72 ni 6√(36 · 2).
Buscar un cuadrado en la raíz cúbica. ∛18 no se simplifica con el 9: hay que buscar un cubo.
En resumen
√(a · b) = √a · √b y ∛(a · b) = ∛a · ∛b.
Escribe el radicando como un producto con un cuadrado (en ∛, con un cubo), saca su raíz y ponla delante del radical.
Si ya hay un número delante del radical, multiplícalo por lo que extraes.
Has terminado cuando debajo de la raíz no queda ningún cuadrado (o cubo) aparte del 1.
