Introducir factores en un radical y comparar radicales
¿Qué número es mayor: 2√7 o 3√3? A primera vista, el primero tiene un número más pequeño delante de la raíz, pero uno más grande dentro. Sin calculadora lo decidimos con un truco sencillo: escribimos los dos números de modo que queden enteros dentro de la raíz.
La raíz cuadrada es creciente: cuanto mayor es el radicando, mayor es la raíz. Por eso basta con introducir los dos números dentro de la raíz y comparar los radicandos.
Ejemplo resuelto 5
2√7 y 3√3
2√7 = √(4 · 7) = √28.
3√3 = √(9 · 3) = √27.
28 > 27, así que 2√7 > 3√3.
La calculadora lo confirma: 2√7 ≈ 5,29 y 3√3 ≈ 5,20.
Ejemplo resuelto 6
3√5 y 7
3√5 = √45.
7 = √49.
45 < 49, así que 3√5 < 7.
Ejemplo resuelto 7
2√18 y 3√8
2√18 = √(4 · 18) = √72.
3√8 = √(9 · 8) = √72.
Los dos números son iguales: 2√18 = 3√8. (Al extraer factores, los dos dan 6√2.)
Ejemplo resuelto 8
3∛2 y 2∛6
3∛2 = ∛(27 · 2) = ∛54.
2∛6 = ∛(8 · 6) = ∛48.
54 > 48, así que 3∛2 > 2∛6.
Errores más frecuentes
No elevar el número. 3√2 no es √6. El 3 entra en la raíz como 3² = 9, es decir, √18.
Elevar al cuadrado en la raíz cúbica. 2∛5 no es ∛20. Lo correcto es 2³ · 5 = 40, es decir, ∛40.
Comparar solo el número de delante. 3√3 tiene delante un número mayor que 2√7 y, sin embargo, es menor.
Comparar raíces distintas. √28 y ∛28 no se pueden comparar así: los dos números tienen que estar bajo la misma raíz.
En resumen
a√b = √(a²b), a∛b = ∛(a³b).
Introducir factores en un radical es lo contrario de extraerlos.
Para comparar dos radicales, escribe los dos con la misma raíz y compara los radicandos.
También un número entero se puede escribir como raíz: 7 = √49.
