Sabemos qué es 2³ (2 · 2 · 2 = 8) y también 2⁻¹ (1/2). Pero ¿qué significa 9^(1/2) , «nueve elevado a un medio»? No se puede multiplicar el nueve «media vez».
Los matemáticos acordaron un significado con el que siguen valiendo todas las propiedades de las potencias que ya conoces. Y resulta que una fracción en el exponente es otra forma de escribir una raíz : 9^(1/2) = √9 = 3.
Índice
Por qué una fracción en el exponente es una raíz
Al multiplicar potencias de la misma base, los exponentes se suman: aʳ · aˢ = a^(r + s). Si esto también tiene que valer para los medios, debe cumplirse
9^(1/2) · 9^(1/2) = 9^(1/2 + 1/2) = 9¹ = 9.
Buscamos, por tanto, un número positivo que multiplicado por sí mismo dé 9. Es exactamente √9 = 3. De forma parecida, 8^(1/3) · 8^(1/3) · 8^(1/3) = 8, así que 8^(1/3) = ∛8 = 2.
La regla general
Para a > 0 y números naturales m, n se cumple:
a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) = (ⁿ√a)ᵐ
Se lee: «a elevado a m partido por n es la raíz n-ésima de a elevado a m».
El denominador n dice qué raíz es (el índice).El numerador m dice a qué potencia se eleva.
Por ejemplo, a^(1/2) = √a, a^(1/3) = ∛a, a^(3/4) = ∜(a³).
Calcular el valor
💡 Al calcular conviene primero sacar la raíz y después elevar : así los números se mantienen pequeños.
Ejemplo resuelto 1
8^(2/3)
Denominador 3: raíz cúbica, ∛8 = 2.
Numerador 2: al cuadrado, 2² = 4.
8^(2/3) = 4 .
Ejemplo resuelto 2
32^(2/5)
⁵√32 = 2, porque 2⁵ = 32.
2² = 4 .
Ejemplo resuelto 3
36^(3/2)
√36 = 6.
6³ = 216 .
Exponente negativo y fracción en la base
Un exponente negativo significa el inverso: a⁻ʳ = 1/aʳ.
Ejemplo resuelto 4
16^(−3/4)
16^(−3/4) = 1/16^(3/4).
∜16 = 2 y 2³ = 8.
16^(−3/4) = 1/8 .
Ejemplo resuelto 5
(4/9)^(3/2)
Sacamos la raíz del numerador y del denominador: √4 = 2, √9 = 3.
(2/3)³ = 8/27 .
Ejemplo resuelto 6
(1/8)^(−2/3)
El exponente negativo da la vuelta a la fracción: (1/8)^(−2/3) = 8^(2/3).
8^(2/3) = 4 (mira el ejemplo 1).
De radical a potencia
La regla también funciona al revés: escribimos un radical como potencia con una fracción en el exponente. Suponemos a > 0.
Radical √a ∛(a²) ⁵√(a³) 1/√a 1/∛(a²) Potencia a^(1/2) a^(2/3) a^(3/5) a^(−1/2) a^(−2/3)
Operaciones con potencias
Valen las mismas propiedades que con exponentes enteros:
Propiedad Ejemplo aʳ · aˢ = a^(r + s) a^(1/2) · a^(1/3) = a^(5/6) aʳ : aˢ = a^(r − s) a^(5/4) : a^(1/2) = a^(3/4) (aʳ)ˢ = a^(r · s) (a^(2/3))^(3/4) = a^(1/2)
Ejemplo resuelto 7
√a · ∛a
Escribimos como potencias: a^(1/2) · a^(1/3).
Sumamos los exponentes: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.
√a · ∛a = a^(5/6) = ⁶√(a⁵).
Ejemplo resuelto 8
√(a · ∛a)
Dentro: a · ∛a = a¹ · a^(1/3) = a^(4/3).
Raíz cuadrada = exponente 1/2: (a^(4/3))^(1/2) = a^(4/3 · 1/2) = a^(2/3).
√(a · ∛a) = a^(2/3) .
Errores más frecuentes
Tomar la fracción del exponente como una multiplicación. 8^(2/3) no es 8 · 2/3. Lo correcto es (∛8)² = 4.Cambiar el numerador por el denominador. ∛(a²) = a^(2/3), no a^(3/2). El índice va al denominador.Tomar el exponente negativo como un número negativo. 16^(−3/4) = 1/8, no −8.Sumar mal las fracciones. 1/2 + 1/3 no es 2/5, sino 5/6.
En resumen
a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ): el denominador es el índice de la raíz y el numerador, la potencia.
Al calcular, primero saca la raíz y después eleva.
Un exponente negativo significa el inverso.
Producto de potencias: suma los exponentes; cociente: réstalos; potencia de una potencia: multiplícalos.
Pruébalo tú
27^(2/3)
25^(−1/2)
Escribe como potencia: ∜(a³)
a^(3/4) · a^(1/2)
∛(a²) : √a
Soluciones:
∛27 = 3, 3² = 9.
1/√25 = 1/5.
a^(3/4).
a^(3/4 + 2/4) = a^(5/4).
a^(2/3 − 1/2) = a^(4/6 − 3/6) = a^(1/6).
Practica
👉 Vuelve al principio: Simplificar radicales (extraer factores)
✏️ Practica esto Este tema tiene ejercicios interactivos. Los problemas se generan siempre nuevos y ves al momento si los has resuelto bien.
Ir a los ejercicios → 