Multiplicación y división de radicales

Multiplicación y división de radicales

¿Cuánto es √2 · √8? La calculadora muestra 1,414… · 2,828… = 4. De dos números «infinitos» ha salido un número entero. No es casualidad: √2 · √8 = √16 = 4.

Al multiplicar, los radicales son mucho más amables que al sumar: se pueden multiplicar siempre, aunque tengan radicandos distintos.

Índice

Multiplicación de radicales

√a · √b = √(a · b) (para a ≥ 0, b ≥ 0)

Para multiplicar radicales, multiplicamos los radicandos. Después extraemos factores del resultado.

Ejemplo resuelto 1

√10 · √2

  1. √10 · √2 = √20.
  2. √20 = √(4 · 5) = 2√5.

Ejemplo resuelto 2

√3 · √12

  1. √3 · √12 = √36 = 6.

Una raíz multiplicada por sí misma da su radicando: √a · √a = a. Por ejemplo, √7 · √7 = 7.

División de radicales

√a : √b = √(a : b) (para a ≥ 0, b > 0)

Ejemplo resuelto 3

√80 : √5

  1. √80 : √5 = √(80 : 5) = √16 = 4.

Ejemplo resuelto 4

√54 : √3

  1. √(54 : 3) = √18 = 3√2.

Números delante del radical

Multiplicamos los números de delante entre sí y las raíces entre sí.

Ejemplo resuelto 5

2√6 · 3√10

  1. 2 · 3 = 6 y √6 · √10 = √60.
  2. √60 = √(4 · 15) = 2√15.
  3. 6 · 2√15 = 12√15.

Quitar paréntesis

La raíz que está delante del paréntesis se multiplica por cada término del paréntesis, igual que en las expresiones a(b + c) = ab + ac.

Ejemplo resuelto 6

√5 · (√20 − 3)

  1. √5 · √20 = √100 = 10.
  2. √5 · 3 = 3√5.
  3. Resultado: 10 − 3√5.

El resultado tiene dos partes: un número sin raíz (10) y un múltiplo de una raíz (−3√5). No se pueden agrupar más, como 10 manzanas y 3 peras. Un resultado así se escribe en la forma p + q√r.

Identidades notables con radicales

Valen las identidades notables que ya conoces:

  • (a + b)(a − b) = a² − b²
  • (a + b)² = a² + 2ab + b²
  • (a − b)² = a² − 2ab + b²

Ejemplo resuelto 7

(√3 + 5)(√3 − 5)

  1. Por la identidad: (√3)² − 5².
  2. (√3)² = 3 y 5² = 25.
  3. 3 − 25 = −22.

La raíz ha desaparecido: usaremos este truco para racionalizar denominadores.

Ejemplo resuelto 8

(√2 + √3)²

  1. a = √2, b = √3: a² = 2, b² = 3, 2ab = 2√6.
  2. 2 + 2√6 + 3 = 5 + 2√6.

Ejemplo resuelto 9

(2 + √3)(1 − √3)

Multiplicamos «cada término por cada término»:

  1. 2 · 1 = 2
  2. 2 · (−√3) = −2√3
  3. √3 · 1 = √3
  4. √3 · (−√3) = −3
  5. En total: 2 − 2√3 + √3 − 3 = −1 − √3.

Errores más frecuentes

  • (√2 + √3)² = 2 + 3. Falta el término central 2ab = 2√6. Lo correcto es 5 + 2√6.
  • 2√3 · 4√3 = 8√3. Las raíces también se multiplican: √3 · √3 = 3, así que 2√3 · 4√3 = 8 · 3 = 24.
  • Resultado sin simplificar. √10 · √2 = √20 hay que terminarlo: 2√5.
  • Escribir (√a)² como 2√a. Una raíz cuadrada elevada al cuadrado da su radicando: (√7)² = 7.

En resumen

  • √a · √b = √(ab), √a : √b = √(a : b), √a · √a = a.
  • Multiplica por separado los números de delante y las raíces; después extrae factores del resultado.
  • Quita los paréntesis como en las expresiones algebraicas o usa las identidades notables.
  • Escribe el resultado en la forma p + q√r.

Pruébalo tú

  1. √6 · √15
  2. √98 : √2
  3. √2 · (√18 + 4)
  4. (√7 − 2)(√7 + 2)
  5. (√5 − 1)²
Soluciones:
  1. √90 = √(9 · 10) = 3√10.
  2. √49 = 7.
  3. √36 + 4√2 = 6 + 4√2.
  4. 7 − 4 = 3.
  5. 5 − 2√5 + 1 = 6 − 2√5.

Practica

👉 Sigue con: Racionalización de denominadores