Racionalización de denominadores

Racionalización de denominadores

¿Cuánto es 1/√2? Si tienes que calcularlo a mano, hay que dividir entre 1,414 21…, algo muy incómodo. Pero 1/√2 es lo mismo que √2/2, que es simplemente la mitad de 1,414 21…, es decir, 0,707 1…

Reescribir una fracción para que no haya raíces en el denominador se llama racionalizar. Así el resultado es más fácil de estimar, de comparar y de sumar con otros radicales.

Índice

La idea clave: amplificar la fracción

Una fracción no cambia si multiplicamos el numerador y el denominador por el mismo número (la amplificamos). Por ejemplo, 1/2 = 3/6.

La multiplicamos por un número que haga desaparecer la raíz del denominador. Nos ayudan dos reglas del artículo Multiplicación y división de radicales:

  • √a · √a = a
  • (√a + b)(√a − b) = a − b²

Una raíz en el denominador

Multiplicamos la fracción por la misma raíz que hay en el denominador.

Ejemplo resuelto 1

1/√2

  1. Multiplicamos arriba y abajo por √2: (1 · √2)/(√2 · √2).
  2. √2 · √2 = 2.
  3. 1/√2 = √2/2.

Ejemplo resuelto 2

6/√3

  1. Multiplicamos por √3: 6√3/(√3 · √3) = 6√3/3.
  2. Simplificamos 6 y 3: 2√3.

Un número delante de la raíz y raíces en el numerador

Ejemplo resuelto 3

10/(3√5)

  1. Multiplicamos por √5 (el 3 se queda): 10√5/(3 · 5) = 10√5/15.
  2. Simplificamos 10 y 15 entre 5: 2√5/3.

Ejemplo resuelto 4

√3/√8

  1. Multiplicamos por √8: √3 · √8/8 = √24/8.
  2. √24 = 2√6, así que 2√6/8.
  3. Simplificamos: √6/4.

💡 Más rápido: simplifica primero el denominador. √8 = 2√2, así que basta multiplicar por √2: √3/(2√2) = √6/(2 · 2) = √6/4.

Un binomio en el denominador

Si en el denominador hay una suma o una resta, por ejemplo √5 − √2, multiplicar por √5 no sirve. Multiplicamos por el mismo binomio con el signo del medio cambiado: √5 + √2. Esta expresión se llama conjugado. En el denominador aparece (a − b)(a + b) = a² − b² y las raíces desaparecen.

Ejemplo resuelto 5

1/(√5 − √2)

  1. Multiplicamos por el conjugado (√5 + √2).
  2. Denominador: (√5 − √2)(√5 + √2) = (√5)² − (√2)² = 5 − 2 = 3.
  3. Numerador: 1 · (√5 + √2) = √5 + √2.
  4. 1/(√5 − √2) = (√5 + √2)/3.

Ejemplo resuelto 6

3/(√7 + 2)

  1. Multiplicamos por el conjugado (√7 − 2).
  2. Denominador: (√7)² − 2² = 7 − 4 = 3.
  3. Numerador: 3(√7 − 2).
  4. 3(√7 − 2)/3 = √7 − 2.

Comprobación con calculadora: 3/(2,646 + 2) ≈ 0,646 y √7 − 2 ≈ 0,646 ✓.

Errores más frecuentes

  • Multiplicar solo el denominador. 1/√2 no es 1/2. Siempre se multiplican el numerador y el denominador.
  • Multiplicar un binomio por una sola raíz. 1/(√5 − √2) multiplicado por √5 da (√5)/(5 − √10): la raíz sigue en el denominador.
  • El mismo signo en lugar del contrario. (√5 − √2)(√5 − √2) = 7 − 2√10: la raíz no ha desaparecido.
  • No simplificar el resultado. 6√3/3 hay que terminarlo: 2√3.

En resumen

  • Racionalizar = quitar la raíz del denominador.
  • Una sola raíz √a en el denominador se elimina multiplicando por √a.
  • Un binomio √a − b se multiplica por su conjugado √a + b (y al revés); se usa la identidad (x − y)(x + y) = x² − y².
  • Al final, simplifica.

Pruébalo tú

  1. 4/√2
  2. 5/(2√10)
  3. 2/(√3 + 1)
  4. 4/(√6 − √2)
Soluciones:
  1. 4√2/2 = 2√2.
  2. 5√10/20 = √10/4.
  3. 2(√3 − 1)/(3 − 1) = √3 − 1.
  4. 4(√6 + √2)/(6 − 2) = √6 + √2.

Practica

👉 Sigue con: Potencias de exponente racional