Decimales periódicos vs exactos
Prueba `1 ÷ 4` mentalmente. Obtienes un limpio 0,25 — listo. Ahora prueba `1 ÷ 3`. Obtienes 0,333… — los treses no terminan. ¿Por qué?
La respuesta es breve: depende únicamente del denominador de la fracción en forma irreducible.
La regla
Una fracción `n/d` en forma irreducible es:
- exacta — si el denominador `d` solo tiene 2 y 5 como factores primos (o ninguno);
- periódica — si `d` tiene otro factor primo (3, 7, 11, 13, …).
Ejemplos — exactos
| fracción | decimal | denominador |
| 1/2 | 0,5 | 2 |
| 1/4 | 0,25 | 4 = 2·2 |
| 1/5 | 0,2 | 5 |
| 1/8 | 0,125 | 8 = 2³ |
| 3/20 | 0,15 | 20 = 2²·5 |
Ejemplos — periódicos
| fracción | decimal | denominador |
| 1/3 | 0,333… | 3 |
| 1/6 | 0,1666… | 6 = 2·3 |
| 1/7 | 0,142857142857… | 7 |
| 1/9 | 0,111… | 9 = 3² |
| 5/11 | 0,4545… | 11 |
En algunos casos (1/6, 1/12, …) la repetición no empieza de inmediato — primero tienes algunas cifras fijas y luego viene el período. También se considera decimal periódico.
Por qué funciona
Nuestro sistema decimal tiene base 10 = 2 × 5. Para convertir `n/d` de forma limpia a un decimal, hay que expresar el denominador como una potencia de diez. Eso solo es posible si `d` tiene únicamente 2 y 5 en su factorización.
Como potencia de 10: `1/8 = 125/1000` (multiplicamos por 125 porque 8 × 125 = 1000). Resulta 0,125.
Si el denominador tiene también un 3 o un 7 u otro factor primo "raro", nunca podrás llevarlo a una potencia de 10 — por eso la expresión decimal se repite necesariamente.
Consejos para reconocerlo
- Primero simplifica la fracción a su forma irreducible.
- Mira el denominador: si lo puedes descomponer solo en 2 y 5, el decimal es exacto.
- 6 = 2 × 3 → periódico. 12 = 2² × 3 → periódico. 21 = 3 × 7 → periódico.