Función lineal

La función lineal es el tipo de función más importante en la escuela. Su gráfico es una recta y la encontrarás en muchos problemas. En este artículo aprenderás todo lo que necesitas saber sobre ella.

Tabla de contenido

Qué es una función lineal
Parámetro k – pendiente
Parámetro q – ordenada al origen
Cómo dibujar el gráfico
Casos especiales
Función creciente y decreciente
Rectas paralelas
Comparación de gráficos
Cómo encontrar la fórmula desde el gráfico
Ejercicios

Qué es una función lineal

Una función lineal tiene la forma:

y = k x + q

donde:

$k$ es la pendiente (slope) – indica la inclinación de la recta
$q$ es el término independiente – indica la ordenada al origen

El gráfico de una función lineal es siempre una recta.

Parámetro k – pendiente

La pendiente $k$ dice cuánto cambia $y$ cuando $x$ aumenta en $1$ .

k = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

$k > 0$ → la recta sube de izquierda a derecha (función creciente)
$k < 0$ → la recta baja de izquierda a derecha (función decreciente)
$k = 0$ → la recta es horizontal (función constante)
$∣ k ∣$ grande → recta empinada
$∣ k ∣$ pequeño → recta suave

Parámetro q – ordenada al origen

El parámetro $q$ es el valor de la función en el punto $x = 0$ :

f (0) = k \cdot 0 + q = q

El punto de corte con el eje $y$ es $[0, q]$ .

Ejemplos:

$y = 2 x + 3$ : punto de corte con el eje $y$ es $[0, 3]$
$y = - x - 1$ : punto de corte con el eje $y$ es $[0, - 1]$
$y = 5 x$ : punto de corte con el eje $y$ es $[0, 0]$ → pasa por el origen

Cómo dibujar el gráfico

Para dibujar una recta bastan 2 puntos (un tercero para verificar):

Método 1: Tabla de valores

Elige 2–3 valores de $x$ (ej. $0, 1, 2$ )
Calcula $f (x)$ para cada $x$
Marca los puntos en el sistema de coordenadas
Únelos con una recta

Método 2: Punto de corte + pendiente

Dibuja el punto $[0, q]$ (corte con eje $y$ )
Desde ese punto muévete $1$ a la derecha y $k$ hacia arriba (si $k > 0$ ) o abajo (si $k < 0$ )
Une los puntos con una recta

Ejemplo:

f (x) = 2 x + 1

💡 Las líneas rojas muestran la pendiente: muévete $1$ a la derecha (+1 en el eje $x$ ) y $2$ hacia arriba (+2 en el eje $y$ ). Pendiente $k = 2$ .

Casos especiales

q = 0 → Proporcionalidad directa

Si $q = 0$ , la función lineal se reduce a $y = k x$ – proporcionalidad directa.

👉 Más detalles: Proporcionalidad directa

k = 0 → Función constante

Si $k = 0$ , la función se reduce a $y = q$ – una función constante.

Función creciente y decreciente

Condición	Tipo	Gráfico
$k > 0$	creciente	sube de izquierda a derecha
$k < 0$	decreciente	baja de izquierda a derecha
$k = 0$	constante	recta horizontal

Rectas paralelas

Dos funciones lineales tienen gráficos paralelos si tienen la misma pendiente $k$ .

Ejemplo:

y = 2 x + 1

y = 2 x - 3

son paralelas (ambas tienen

k = 2

Las rectas paralelas nunca se cortan (misma pendiente, diferente desplazamiento).

Comparación de gráficos

Comparemos tres funciones: $y = 2 x + 1$ , $y = - x + 2$ , $y = 0, 5 x - 1$

Función	$k$	$q$	Tipo	Corte con eje $y$
$y = 2 x + 1$	$2$	$1$	creciente, empinada	$[0, 1]$
$y = - x + 2$	$- 1$	$2$	decreciente	$[0, 2]$
$y = 0, 5 x - 1$	$0, 5$	$- 1$	creciente, suave	$[0, - 1]$

Cómo encontrar la fórmula

Si tienes el gráfico y quieres encontrar la fórmula $y = k x + q$ :

Paso 1: Encontrar q

Busca el punto donde el gráfico corta el eje $y$ . La coordenada $y$ de ese punto es $q$ .

Paso 2: Encontrar k

Busca dos puntos en la recta, ej. $[x_{1}, y_{1}]$ y $[x_{2}, y_{2}]$ .

k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

Ejemplo

El gráfico corta el eje $y$ en $[0, - 2]$ y pasa por $[3, 4]$ .

$q = - 2$
$k = \frac{4 - ( - 2 )}{3 - 0} = \frac{6}{3} = 2$
Fórmula: $y = 2 x - 2$

Ejercicios

Dibuja el gráfico de $y = - 2 x + 4$ y determina los puntos de corte con ambos ejes
Determina la fórmula de la función lineal que pasa por $[1, 5]$ y $[3, 11]$
¿Son paralelas las rectas $y = 3 x + 1$ e $y = 3 x - 7$ ?
Dibuja en un mismo gráfico: $y = x + 2$ , $y = x - 1$ , $y = - x + 2$

Ejercicios interactivos:

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