Proporcionalidad inversa

La proporcionalidad inversa es un tipo de función donde cuando una magnitud crece, la otra decrece – y viceversa. La encontrarás en problemas sobre trabajadores y tiempo, velocidad y tiempo, o presión y volumen. En este artículo la explicaremos en detalle.

Tabla de contenido

Qué es la proporcionalidad inversa
Constante de proporcionalidad k
Tabla de valores
Gráfico – hipérbola
Propiedades del gráfico
Ejemplos prácticos
Dominio y rango
Cómo reconocer la proporcionalidad inversa
Ejercicios

Qué es la proporcionalidad inversa

La proporcionalidad inversa es una función de la forma:

y = \frac{k}{x}

donde $k$ es una constante no nula.

Propiedad clave:

Si $x$ se multiplica por $n$ , $y$ se divide por $n$ (y viceversa).

El producto $x \cdot y$ es siempre constante e igual a $k$ :

x \cdot y = k

Constante de proporcionalidad k

La constante $k$ es el producto de cualquier par $x$ e $y$ :

k = x \cdot y

Ejemplo: Si 4 trabajadores terminan un trabajo en 6 horas, entonces

k = 4 \cdot 6 = 24

$k > 0$ → hipérbola en el I y III cuadrante
$k < 0$ → hipérbola en el II y IV cuadrante

Tabla de valores

Para $f (x) = \frac{12}{x}$ (es decir, $k = 12$ ):

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$6$	$12$
$f (x)$	$12$	$6$	$4$	$3$	$2$	$1$

Verificación:

x \cdot f (x) = 12

para cada columna. ✓

Gráfico – hipérbola

El gráfico de la proporcionalidad inversa se llama hipérbola. Consta de dos ramas.

Propiedades del gráfico

Nunca corta el eje $x$ – porque $\frac{k}{x}$ nunca es cero
Nunca corta el eje $y$ – porque para $x = 0$ la función no está definida
Los ejes son asíntotas – el gráfico se acerca infinitamente pero nunca los alcanza
Dos ramas – una en el I y III cuadrante (para $k > 0$ ), o en el II y IV (para $k < 0$ )
Centro de simetría es el origen $[0, 0]$

⚠️ Asíntota es una recta a la que el gráfico se acerca infinitamente pero nunca la alcanza.

Ejemplos prácticos

Trabajadores y tiempo

6 trabajadores terminan un trabajo en 10 días. ¿Cuántos días tardarán 15 trabajadores?

$k = 6 \cdot 10 = 60$
Fórmula: $t = \frac{60}{n}$ , donde $n$ = número de trabajadores, $t$ = tiempo en días

t = \frac{60}{15} = 4 d \overset{ı}{ˊ} as

Velocidad y tiempo a distancia constante

La distancia a la escuela es 12 km.

Fórmula: $t = \frac{12}{v}$ , donde $v$ = velocidad (km/h), $t$ = tiempo (h)

velocidad (km/h)	$4$	$6$	$12$	$24$
tiempo (h)	$3$	$2$	$1$	$0, 5$

💡 Cuanto más rápido vayas, antes llegas – eso es proporcionalidad inversa.

Dominio y rango

Para $f (x) = \frac{k}{x}$ :

D (f) = R ∖ {0}

R (f) = R ∖ {0}

👉 Más detalles: Dominio | Rango

Cómo reconocerla

Fórmula tiene la forma $y = \frac{k}{x}$ o $x y = k$
Gráfico es una hipérbola (dos ramas, no corta los ejes)
Tabla – el producto $x \cdot y$ es igual para todas las filas
En palabras – "cuanto más de uno, menos del otro" en la misma proporción

Comparación con proporcionalidad directa

	Proporcionalidad directa	Proporcionalidad inversa
Fórmula	$y = k x$	$y = \frac{k}{x}$
Constante	cociente $\frac{y}{x} = k$	producto $x \cdot y = k$
Gráfico	recta por $[0, 0]$	hipérbola
Comportamiento	ambas crecen/decrecen juntas	una crece, la otra decrece

Ejercicios

Elabora una tabla para $y = \frac{24}{x}$ para $x \in {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}$
8 trabajadores tardan 15 días. ¿Cuántos días tardarán 12 trabajadores?
Dibuja el gráfico de $y = \frac{6}{x}$ para $x$ positivos
¿Es $y = \frac{5}{x} + 2$ proporcionalidad inversa? ¿Por qué sí/no?

Ejercicios interactivos:

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Proporcionalidad inversa (8.° y 9.° grado) – explicación y gráfico