Biquadratische Gleichungen und Bruchgleichungen

Biquadratische Gleichungen und Bruchgleichungen

Die Gleichung x⁴ − 5x² + 4 = 0 enthält die vierte Potenz, ist also nicht quadratisch. Aber schau genauer hin: x⁴ = (x²)². Wenn wir x² für einen Moment in t umbenennen, erhalten wir t² − 5t + 4 = 0 — eine ganz gewöhnliche quadratische Gleichung.

Diesen Trick nennt man Substitution. Zusammen mit den Bruchgleichungen, bei denen die Unbekannte im Nenner steht, ist er einer der häufigsten Wege, wie aus einer schwierigeren Gleichung eine quadratische wird.

Inhalt

Biquadratische Gleichungen

Eine Gleichung der Form ax⁴ + bx² + c = 0 heißt biquadratisch. So gehst du vor:

  1. Setze t = x². Die Gleichung wird zu at² + bt + c = 0.
  2. Löse sie nach t auf.
  3. Kehre zu x zurück: Aus jedem positiven t erhältst du zwei Lösungen x = ±√t. Ein negatives t streichst du — x² kann nicht negativ sein.

Beispiel 1

x⁴ − 5x² + 4 = 0

  1. t = x²: t² − 5t + 4 = 0.
  2. t₁ = 1, t₂ = 4 (Produkt 4, Summe 5).
  3. x² = 1 ergibt x = ±1, x² = 4 ergibt x = ±2.

Lösungen: x = −2, −1, 1, 2. Probe für x = 2: 16 − 20 + 4 = 0 ✓.

Beispiel 2

x⁴ − 8x² − 9 = 0

  1. t² − 8t − 9 = 0, t₁ = 9, t₂ = −1.
  2. x² = 9 ergibt x = ±3.
  3. x² = −1 hat keine Lösung.

Lösungen: x = −3, 3.

Beispiel 3

x⁴ + 7x² + 12 = 0

t² + 7t + 12 = 0 hat die Lösungen t = −3 und t = −4. Beide sind negativ, also hat die Gleichung keine Lösung. (Das sieht man auch ohne Rechnen: x⁴ und 7x² sind nicht negativ, also ist die linke Seite mindestens 12.)

Substitution eines ganzen Terms

Wiederholt sich in einer Gleichung ein ganzer Term, können wir ihn durch einen einzigen Buchstaben ersetzen.

Beispiel 4

(x² − 3x)² − 2(x² − 3x) − 8 = 0

  1. t = x² − 3x: t² − 2t − 8 = 0, Lösungen t₁ = 4, t₂ = −2.
  2. x² − 3x = 4, also x² − 3x − 4 = 0: x = 4 oder x = −1.
  3. x² − 3x = −2, also x² − 3x + 2 = 0: x = 1 oder x = 2.

Lösungen: x = −1, 1, 2, 4. Probe für x = 1: (1 − 3)² − 2 · (−2) − 8 = 4 + 4 − 8 = 0 ✓.

Die Unbekannte im Nenner

Steht x im Nenner, bestimme zuerst die Definitionsmenge: Kein Nenner darf null werden. Dann multipliziere die ganze Gleichung mit dem Nenner (oder mit dem Produkt der Nenner).

Beispiel 5

x − 12/x = 1

  1. Definitionsmenge: x ≠ 0.
  2. Mit x multiplizieren: x² − 12 = x.
  3. Umformen: x² − x − 12 = 0, Lösungen x = 4 und x = −3.
  4. Beide liegen in der Definitionsmenge.

Lösungen: x₁ = −3, x₂ = 4. Probe: 4 − 12/4 = 4 − 3 = 1 ✓, −3 − 12/(−3) = −3 + 4 = 1 ✓.

Eine Lösung, die man streichen muss

Beim Multiplizieren mit dem Nenner kann eine Lösung entstehen, die die ursprüngliche Gleichung nicht erfüllt. Vergiss deshalb nie die Definitionsmenge.

Beispiel 6

(x² − x − 6) / (x − 3) = 0

  1. Definitionsmenge: x ≠ 3.
  2. Ein Bruch ist null, wenn sein Zähler null ist: x² − x − 6 = 0, Lösungen x = 3 und x = −2.
  3. x = 3 liegt nicht in der Definitionsmenge (der Nenner wäre null).

Lösung: x = −2.

Beispiel 7

x / (x − 2) − 6 / (x + 1) = 6 / ((x − 2)(x + 1))

  1. Definitionsmenge: x ≠ 2, x ≠ −1.
  2. Mit (x − 2)(x + 1) multiplizieren: x(x + 1) − 6(x − 2) = 6.
  3. Ausmultiplizieren: x² + x − 6x + 12 = 6, also x² − 5x + 6 = 0.
  4. Lösungen x = 2 und x = 3. Die Lösung x = 2 liegt nicht in der Definitionsmenge.

Lösung: x = 3. Probe: 3/1 − 6/4 = 3 − 1,5 = 1,5 und 6 / (1 · 4) = 1,5 ✓.

Häufige Fehler

  • Das ± vergessen. Aus x² = 4 gibt es zwei Lösungen, ±2. Eine biquadratische Gleichung kann bis zu vier Lösungen haben.
  • Negatives t behalten. x² = −1 hat keine Lösung in ℝ.
  • Definitionsmenge vergessen. Ohne sie behältst du in Beispiel 6 aus Versehen x = 3.
  • Nur eine Seite multiplizieren. Multipliziere jedes Glied auf beiden Seiten mit dem Nenner.

Kurz gesagt

  • Eine biquadratische Gleichung ax⁴ + bx² + c = 0 löst du mit der Substitution t = x².
  • Ein positives t ergibt zwei Lösungen ±√t, ein negatives keine.
  • Einen sich wiederholenden Term ersetzt du durch einen einzigen Buchstaben.
  • Steht die Unbekannte im Nenner, bestimme zuerst die Definitionsmenge und multipliziere dann mit den Nennern.
  • Prüfe am Ende jede Lösung anhand der Definitionsmenge.

Probier es selbst

  1. x⁴ − 10x² + 9 = 0
  2. x⁴ − 3x² − 4 = 0
  3. x + 6/x = 5
  4. (x² − 4) / (x + 2) = 0
  5. (x² + x)² − 8(x² + x) + 12 = 0
Lösungen:
  1. t = 1 oder t = 9: x = ±1, ±3.
  2. t = 4 oder t = −1: x = ±2.
  3. x ≠ 0; x² − 5x + 6 = 0, x = 2 oder x = 3.
  4. x ≠ −2; x² − 4 = 0 ergibt ±2, aber −2 liegt nicht in der Definitionsmenge, also x = 2.
  5. t = x² + x: t = 2 oder t = 6. x² + x − 2 = 0 ergibt 1, −2; x² + x − 6 = 0 ergibt 2, −3. Lösungen −3, −2, 1, 2.

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