Quadratischen Term in Linearfaktoren zerlegen

Quadratischen Term in Linearfaktoren zerlegen

Multipliziere (x − 2)(x − 3) aus: x² − 3x − 2x + 6 = x² − 5x + 6. Und jetzt umgekehrt: Der Term x² − 5x + 6 lässt sich als Produkt (x − 2)(x − 3) schreiben. Fällt dir auf, dass 2 und 3 genau die Lösungen der Gleichung x² − 5x + 6 = 0 sind?

Das ist kein Zufall. Kennst du die Lösungen, kannst du den Term als Produkt schreiben — und umgekehrt siehst du am Produkt sofort die Lösungen.

Inhalt

Die Regel

Hat die Gleichung ax² + bx + c = 0 die Lösungen x₁ und x₂, dann gilt

ax² + bx + c = a · (x − x₁) · (x − x₂)

Die Ausdrücke (x − x₁) und (x − x₂) heißen Linearfaktoren, die ganze Schreibweise heißt Nullstellenform. Die Zahl a vor den Klammern darfst du nicht weglassen.

Warum gilt das? Das Produkt a(x − x₁)(x − x₂) ist genau für x = x₁ und x = x₂ gleich null und hat vor x² die Zahl a. Ein Term mit denselben Nullstellen und demselben a ist derselbe Term.

Beispiele

Beispiel 1

Zerlege x² + x − 12.

  1. Lösungen der Gleichung x² + x − 12 = 0: D = 1 + 48 = 49, x = (−1 ± 7) / 2, also x₁ = 3, x₂ = −4.
  2. a = 1, also x² + x − 12 = (x − 3)(x + 4).

Achte auf das Vorzeichen: Die Lösung −4 ergibt den Faktor x − (−4) = x + 4.

Probe: (x − 3)(x + 4) = x² + 4x − 3x − 12 = x² + x − 12 ✓.

Beispiel 2 — die Zahl a vor der Klammer

Zerlege 2x² − 2x − 12.

  1. Lösungen: D = 4 + 96 = 100, x = (2 ± 10) / 4, also x₁ = 3, x₂ = −2.
  2. a = 2, also 2x² − 2x − 12 = 2(x − 3)(x + 2).

Beispiel 3 — Lösung als Bruch

Zerlege 3x² + 4x + 1.

  1. D = 16 − 12 = 4, x = (−4 ± 2) / 6, also x₁ = −1/3, x₂ = −1.
  2. 3x² + 4x + 1 = 3(x + 1/3)(x + 1).
  3. Die 3 „ziehen wir in die erste Klammer hinein“: 3(x + 1/3) = 3x + 1. Ergebnis: (3x + 1)(x + 1).

Probe: (3x + 1)(x + 1) = 3x² + 3x + x + 1 = 3x² + 4x + 1 ✓.

Beispiel 4 — doppelte Lösung

x² − 6x + 9 hat die einzige Lösung 3 (D = 0), also x² − 6x + 9 = (x − 3)(x − 3) = (x − 3)².

Wenn sich der Term nicht zerlegen lässt

Ist D < 0, hat die Gleichung keine reellen Lösungen, und der Term lässt sich mit reellen Zahlen nicht in Linearfaktoren zerlegen. Zum Beispiel x² + x + 1 (D = 1 − 4 = −3).

Gleichung aus den Lösungen aufstellen

Die Regel funktioniert auch umgekehrt: Kennst du die Lösungen, stellst du die Gleichung durch Ausmultiplizieren auf.

Beispiel 5

Stelle eine Gleichung mit den Lösungen 2 und −5 auf (a = 1).

(x − 2)(x + 5) = x² + 5x − 2x − 10, also x² + 3x − 10 = 0.

Beispiel 6

Stelle eine Gleichung mit den Lösungen 1/2 und 3 und mit a = 2 auf.

2(x − 1/2)(x − 3) = (2x − 1)(x − 3) = 2x² − 6x − x + 3, also 2x² − 7x + 3 = 0.

Beispiel 7 — Lösungen mit Wurzel

Stelle eine Gleichung mit den Lösungen 2 + √3 und 2 − √3 auf (a = 1).

(x − 2 − √3)(x − 2 + √3) = (x − 2)² − (√3)² = x² − 4x + 4 − 3, also x² − 4x + 1 = 0.

Wir haben die Formel (A − B)(A + B) = A² − B² mit A = x − 2 und B = √3 benutzt.

Wozu die Zerlegung gut ist

  • Brüche kürzen. (x² − 5x + 6) / (x − 2) = (x − 2)(x − 3) / (x − 2) = x − 3 für x ≠ 2.
  • Lösungen schnell ablesen. An der Form 2(x − 3)(x + 2) = 0 siehst du sofort die Lösungen 3 und −2.
  • Quadratische Ungleichungen. Das Vorzeichen eines Produkts bestimmt man leichter als das Vorzeichen des ganzen Terms.

Häufige Fehler

  • Das a weglassen. 2x² − 2x − 12 ist nicht (x − 3)(x + 2) — das ist nur x² − x − 6.
  • Vorzeichen. Die Lösung −4 ergibt (x + 4), nicht (x − 4).
  • Bruch in der Klammer. 3(x + 1/3) = 3x + 1, nicht 3x + 3.
  • Zerlegung bei D < 0. Hat die Gleichung keine reellen Lösungen, gibt es keine reelle Zerlegung in Linearfaktoren.

Kurz gesagt

  • Hat der Term die Nullstellen x₁, x₂, dann gilt ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).
  • Die Lösungen findest du mit der Lösungsformel (oder du errätst zwei Zahlen mit passender Summe und passendem Produkt).
  • Die Lösung −k ergibt den Faktor (x + k).
  • Bei einer doppelten Lösung lautet die Zerlegung a(x − x₁)².
  • Eine Gleichung aus den Lösungen stellst du durch Ausmultiplizieren von a(x − x₁)(x − x₂) auf.

Probier es selbst

  1. Zerlege x² − 7x + 10.
  2. Zerlege x² + 2x − 15.
  3. Zerlege 2x² + 5x − 3.
  4. Stelle eine Gleichung mit den Lösungen −1 und 4 auf (a = 1).
  5. Stelle eine Gleichung mit den Lösungen 1 + √2 und 1 − √2 auf (a = 1).
Lösungen:
  1. Lösungen 2 und 5: (x − 2)(x − 5).
  2. Lösungen 3 und −5: (x − 3)(x + 5).
  3. D = 25 + 24 = 49, Lösungen 1/2 und −3: 2(x − 1/2)(x + 3) = (2x − 1)(x + 3).
  4. (x + 1)(x − 4) = x² − 3x − 4, Gleichung x² − 3x − 4 = 0.
  5. (x − 1)² − 2 = x² − 2x − 1, Gleichung x² − 2x − 1 = 0.

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