Eine Gärtnerin möchte ein rechteckiges Beet mit 96 m² Fläche anlegen, wobei eine Seite 4 m länger sein soll als die andere. Welche Maße hat das Beet? Nennen wir die kürzere Seite x, dann ist die längere x + 4 und die Fläche x · (x + 4) = 96. Die Unbekannte wird hier mit sich selbst multipliziert — es entsteht eine quadratische Gleichung.
Eine quadratische Gleichung hat oft zwei Lösungen, die Aufgabe aber nur eine sinnvolle. Wir zeigen dir, wie du sie unterscheidest.
Lege die Unbekannte fest. Schreibe in Worten auf, was x bedeutet (zum Beispiel „x ist die kürzere Seite in Metern“).
Drücke die anderen Größen mit x aus.
Stelle die Gleichung auf und bringe sie in die Form ax² + bx + c = 0.
Löse sie — mit der Lösungsformel oder durch Zerlegung in Linearfaktoren.
Prüfe die Lösungen. Eine negative Länge, eine negative Anzahl von Personen oder eine negative Geschwindigkeit ergeben keinen Sinn — eine solche Lösung streichst du. Antworte dann in einem ganzen Satz.
Rechteck
Beispiel 1
Ein Beet hat eine Fläche von 96 m², und eine Seite ist 4 m länger als die andere.
x = kürzere Seite (m), x + 4 = längere Seite.
x(x + 4) = 96, also x² + 4x − 96 = 0.
D = 16 + 384 = 400, x = (−4 ± 20) / 2, also x = 8 oder x = −12.
−12 passt nicht — eine Länge kann nicht negativ sein.
Antwort: Das Beet ist 8 m und 12 m lang. Probe: 8 · 12 = 96 ✓.
Aufeinanderfolgende Zahlen
Beispiel 2
Das Produkt zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist 156. Welche Zahlen sind es?
n = kleinere Zahl, n + 1 = größere.
n(n + 1) = 156, also n² + n − 156 = 0.
D = 1 + 624 = 625, n = (−1 ± 25) / 2, also n = 12 oder n = −13.
−13 ist keine natürliche Zahl.
Antwort: Die Zahlen sind 12 und 13.
Turnier — jeder gegen jeden
Spielen n Mannschaften jeder gegen jeden einmal, bestreitet jede Mannschaft n − 1 Spiele. Das Produkt n(n − 1) zählt aber jedes Spiel doppelt (einmal für jede der beiden Mannschaften), deshalb gibt es n(n − 1) / 2 Spiele.
Beispiel 3
Bei einem Turnier wurden 28 Spiele ausgetragen. Wie viele Mannschaften haben gespielt?
n(n − 1) / 2 = 28, also n² − n − 56 = 0.
D = 1 + 224 = 225, n = (1 ± 15) / 2, also n = 8 oder n = −7.
Antwort: Es haben 8 Mannschaften gespielt.
💡 Genauso hat ein Vieleck mit n Ecken n(n − 3) / 2 Diagonalen: Von jeder Ecke gehen n − 3 Diagonalen aus, und jede haben wir doppelt gezählt.
Rechtwinkliges Dreieck
Beispiel 4
Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks unterscheiden sich um 7 cm, die Hypotenuse ist 13 cm lang. Wie lang sind die Katheten?
x = kürzere Kathete, x + 7 = längere Kathete.
Satz des Pythagoras: x² + (x + 7)² = 13².
x² + x² + 14x + 49 = 169, also 2x² + 14x − 120 = 0, nach Division durch 2 x² + 7x − 60 = 0.
D = 49 + 240 = 289, x = (−7 ± 17) / 2, also x = 5 oder x = −12.
Antwort: Die Katheten sind 5 cm und 12 cm lang. Probe: 25 + 144 = 169 ✓.
Geschwindigkeit und Zeit
Die Fahrzeit ist der Weg geteilt durch die Geschwindigkeit: t = s / v.
Beispiel 5
Ein Radfahrer ist 60 km gefahren. Wäre er 5 km/h schneller gefahren, wäre er eine Stunde früher am Ziel gewesen. Wie schnell ist er gefahren?
v = seine Geschwindigkeit (km/h). Die tatsächliche Zeit ist 60/v, die schnellere Zeit 60/(v + 5).
Der Zeitunterschied beträgt 1 Stunde: 60/v − 60/(v + 5) = 1.
Mit v(v + 5) multiplizieren: 60(v + 5) − 60v = v(v + 5), also 300 = v² + 5v.
v² + 5v − 300 = 0, D = 25 + 1200 = 1225, v = (−5 ± 35) / 2, also v = 15 oder v = −20.
Antwort: Der Radfahrer ist mit 15 km/h gefahren. Probe: 60/15 = 4 h, 60/20 = 3 h, Unterschied 1 h ✓.
Häufige Fehler
Eine sinnlose Lösung behalten. Eine negative Länge oder Anzahl von Mannschaften ist keine Antwort.
Unvollständige Antwort. Wird nach den Maßen gefragt, gib beide Seiten an, nicht nur x.
Unklare Unbekannte. Schreibst du nicht auf, was x ist, beantwortest du leicht eine andere Frage.
Einheiten vergessen. Die Antwort „8“ reicht nicht — es sind 8 m.
Kurz gesagt
Lege die Unbekannte fest, drücke die anderen Größen aus, stelle die Gleichung auf und löse sie.
Eine quadratische Gleichung hat oft zwei Lösungen, die Aufgabe nur eine sinnvolle.
Negative Längen, Anzahlen und Geschwindigkeiten streichst du.
Prüfe das Ergebnis am Aufgabentext und antworte in einem ganzen Satz.
Probier es selbst
Das Produkt zweier aufeinanderfolgender gerader Zahlen ist 168. Welche Zahlen sind es?
Ein Rechteck hat den Umfang 30 m und den Flächeninhalt 56 m². Welche Maße hat es?
Ein Vieleck hat 20 Diagonalen. Wie viele Ecken hat es?
Um ein Beet von 6 m × 10 m führt ein überall gleich breiter Weg. Beet und Weg zusammen nehmen 140 m² ein. Wie breit ist der Weg?
Lösungen:
n(n + 2) = 168, n² + 2n − 168 = 0, D = 676, n = 12 (−14 passt nicht). Die Zahlen sind 12 und 14.
a + b = 15, ab = 56: x² − 15x + 56 = 0, x = 7 oder x = 8. Die Maße sind 7 m und 8 m.
