Diskriminante und Lösungsformel für quadratische Gleichungen
Die Gleichung x² − 9 = 0 löst du durch Wurzelziehen, die Gleichung x² − 5x = 0 durch Ausklammern von x. Aber was machst du mit x² − 2x − 15 = 0? Hier kommen alle drei Glieder vor, und keiner der beiden Tricks funktioniert.
Für eine solche vollständige quadratische Gleichung gibt es eine Formel, die immer funktioniert. Wir zeigen sie dir Schritt für Schritt.
Bringe die Gleichung zuerst in die Form ax² + bx + c = 0 und schreibe die Koeffizienten mit ihren Vorzeichen heraus. Für x² − 2x − 15 = 0 ist a = 1, b = −2, c = −15.
Dann berechnest du die Diskriminante:
D=b2−4ac
Für unsere Gleichung: D = (−2)² − 4 · 1 · (−15) = 4 + 60 = 64.
Das Wort Diskriminante bedeutet „Unterscheiderin“ — mit ihr unterscheiden wir, wie viele Lösungen die Gleichung hat.
Die Lösungsformel
Ist D nicht negativ, berechnest du die Lösungen mit der Formel
x1,2=2a−b±D
In Bayern heißt sie auch Mitternachtsformel, weil man sie selbst um Mitternacht noch aufsagen können soll. Das Zeichen ± bedeutet, dass du zweimal rechnest: einmal mit Plus (x₁), einmal mit Minus (x₂).
Für x² − 2x − 15 = 0: √D = √64 = 8, also
x₁ = (2 + 8) / 2 = 10 / 2 = 5,
x₂ = (2 − 8) / 2 = −6 / 2 = −3.
Probe: 5² − 2 · 5 − 15 = 25 − 10 − 15 = 0 ✓.
Drei Fälle je nach Diskriminante
Diskriminante
Anzahl der Lösungen
Warum
D > 0
zwei verschiedene Lösungen
√D ist positiv, + und − ergeben zwei verschiedene Werte
D = 0
eine (doppelte) Lösung
√0 = 0, beide Werte fallen zusammen: x = −b / 2a
D < 0
keine reelle Lösung
die Wurzel aus einer negativen Zahl existiert in ℝ nicht
Auf dem Bild siehst du die Graphen von drei Funktionen y = x² − 2x + c. Die Lösungen der Gleichung sind die Stellen, an denen der Graph die x-Achse schneidet — die Nullstellen. Die orange Parabel schneidet sie zweimal, die schwarze berührt sie nur, und die gestrichelte schneidet sie gar nicht.
Die linke Seite ist eigentlich (x − 3)², deshalb ist x = 3 die einzige Lösung.
Beispiel 3 — keine Lösung
x² + 2x + 5 = 0
D = 2² − 4 · 1 · 5 = 4 − 20 = −16.
D < 0, die Gleichung hat keine Lösung in ℝ.
💡 Ist a negativ, zum Beispiel −x² + 4x − 3 = 0, multipliziere die ganze Gleichung zuerst mit −1: x² − 4x + 3 = 0. Die Lösungen ändern sich nicht (x = 1 und x = 3), und das Rechnen wird leichter.
Lösungen mit Wurzel
Ist D keine Quadratzahl, „geht“ die Wurzel nicht auf. Dann schreiben wir die Lösungen mit Wurzel und ziehen die Wurzel teilweise: Aus der Zahl unter der Wurzel holen wir die größte Quadratzahl heraus.
Beispiel 4
x² − 4x + 1 = 0
D = (−4)² − 4 · 1 · 1 = 16 − 4 = 12.
√12 = √(4 · 3) = 2√3.
x = (4 ± 2√3) / 2.
Teile beide Glieder des Zählers durch 2: x = 2 ± √3.
Die Lösungen sind x₁ = 2 + √3, x₂ = 2 − √3 (ungefähr 3,73 und 0,27).
Beispiel 5
x² + 2x − 7 = 0
D = 2² − 4 · 1 · (−7) = 4 + 28 = 32.
√32 = √(16 · 2) = 4√2.
x = (−2 ± 4√2) / 2 = −1 ± 2√2.
Häufige Fehler
Vorzeichen bei −b. Ist b = −2, dann ist −b = 2. In die Formel setzt du die Gegenzahl von b ein.
Quadrat eines negativen b. (−6)² = 36, nicht −36. Setze ein negatives b immer in Klammern.
Nur einen Teil des Zählers teilen. (4 ± 2√3) / 2 ist 2 ± √3, nicht 2 ± 2√3 und auch nicht 4 ± √3.
Teilweises Wurzelziehen vergessen. Das Ergebnis (4 ± √12) / 2 ist nicht fertig — √12 = 2√3, also x = 2 ± √3.
Gleichung nicht in der Form = 0. Bei x² = 2x + 15 bringe zuerst alles nach links: x² − 2x − 15 = 0.
Kurz gesagt
Bringe die Gleichung in die Form ax² + bx + c = 0 und schreibe a, b, c mit Vorzeichen heraus.
Diskriminante: D = b² − 4ac.
D > 0: zwei Lösungen, D = 0: eine, D < 0: keine.
Lösungen: x = (−b ± √D) / 2a.
Ziehe die Wurzel teilweise und kürze den Bruch.
Probier es selbst
x² + x − 12 = 0
3x² − 5x − 2 = 0
x² − 10x + 25 = 0
x² − 2x − 2 = 0
2x² + 3x + 4 = 0
Lösungen:
D = 1 + 48 = 49, x = (−1 ± 7) / 2, also x = 3 oder x = −4.
D = 25 + 24 = 49, x = (5 ± 7) / 6, also x = 2 oder x = −1/3.
D = 100 − 100 = 0, x = 10 / 2 = 5.
D = 4 + 8 = 12, x = (2 ± 2√3) / 2 = 1 ± √3.
D = 9 − 32 = −23 < 0, die Gleichung hat keine Lösung.
