Ein quadratisches Zimmer hat eine Bodenfläche von 16 m². Wie lang ist eine Wand? Nennen wir die Wandlänge x, dann gilt x² = 16. Welche Zahl ergibt quadriert 16? Die 4 — aber auch −4, denn (−4)² = 16. Für die Wand ergibt nur 4 m einen Sinn, die Gleichung selbst hat aber zwei Lösungen.
Eine Gleichung, in der die Unbekannte im Quadrat vorkommt, heißt quadratische Gleichung. In diesem Artikel lösen wir die einfachsten davon — die unvollständigen. Dafür brauchst du keine Formel.
Jede quadratische Gleichung lässt sich in diese Form bringen:
ax² + bx + c = 0, wobei a ≠ 0.
Die Zahlen a, b, c heißen Koeffizienten:
a ist die Zahl vor x² (quadratisches Glied),
b ist die Zahl vor x (lineares Glied),
c ist die Zahl ohne x (absolutes Glied).
In der Gleichung 2x² − 3x + 1 = 0 ist zum Beispiel a = 2, b = −3, c = 1.
Die Gleichung ist unvollständig, wenn b = 0 oder c = 0 ist — wenn also das Glied mit x oder die Zahl ohne x fehlt. Die Zahl a darf nicht fehlen, sonst wäre die Gleichung nicht quadratisch.
Gleichung ohne x-Glied
Eine Gleichung der Form ax² + c = 0 (b = 0) heißt auch reinquadratisch. So gehst du vor:
Bringe x² allein auf eine Seite.
Ziehe die Wurzel. Vergiss nicht, dass es zwei Lösungen gibt: eine positive und eine negative. Wir schreiben das mit dem Zeichen ± („plus minus“).
Beispiel 1
x² − 16 = 0
x² = 16
x = ±4, also x₁ = 4, x₂ = −4.
Probe: 4² − 16 = 0 ✓, (−4)² − 16 = 16 − 16 = 0 ✓.
Beispiel 2
3x² − 75 = 0
3x² = 75
x² = 25 (beide Seiten durch 3 geteilt)
x₁ = 5, x₂ = −5
Beispiel 3
4x² − 9 = 0
4x² = 9
x² = 9/4
x = ±3/2, also x₁ = 3/2, x₂ = −3/2.
Beispiel 4
x² + 4 = 0
x² = −4
Das Quadrat einer reellen Zahl ist nie negativ: Eine positive Zahl im Quadrat ist positiv, eine negative auch, und null ergibt null.
Die Gleichung hat keine Lösung in den reellen Zahlen.
💡 Kommt x² = 7 heraus, sind die Lösungen x = ±√7. Die Wurzel aus einer Zahl, die keine Quadratzahl ist, ist ebenfalls eine Lösung — man kann sie nur nicht als ganze Zahl schreiben.
Gleichung ohne Zahl ohne x
Eine Gleichung der Form ax² + bx = 0 (c = 0) hat x in beiden Gliedern. Wir klammern es aus:
x · (ax + b) = 0
Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist. Also ist entweder x = 0 oder ax + b = 0.
Beispiel 5
x² − 5x = 0
x · (x − 5) = 0
x = 0 oder x − 5 = 0
x₁ = 0, x₂ = 5
Probe: 5² − 5 · 5 = 25 − 25 = 0 ✓.
Beispiel 6
2x² + 3x = 0
x · (2x + 3) = 0
x = 0 oder 2x + 3 = 0, also 2x = −3
x₁ = 0, x₂ = −3/2
⚠️ Teile die Gleichung x² − 5x = 0 nicht durch x! Du bekämst x − 5 = 0 und würdest die Lösung x = 0 verlieren. Durch null darf man nicht teilen — und x kann null sein.
Gleichungen, die man zuerst umformen muss
Manchmal sieht eine Gleichung nicht unvollständig aus, ist es aber nach dem Umformen.
Beispiel 7
(x − 3)² = 16
Der Ausdruck in der Klammer ergibt quadriert 16, also ist er 4 oder −4:
