Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung und Parameter
Manchmal musst du die Lösungen gar nicht kennen, es reicht zu wissen, wie viele es gibt. Hat die Gleichung x² − 4x + 5 = 0 eine Lösung? Du musst sie nicht ganz lösen — die Diskriminante genügt: D = 16 − 20 = −4. Sie ist negativ, also hat die Gleichung keine Lösung. Fertig in wenigen Sekunden.
Dieselbe Idee hilft auch bei Gleichungen, in denen außer x noch ein weiterer Buchstabe vorkommt — ein Parameter.
Berechne für die Gleichung ax² + bx + c = 0 die Diskriminante D = b² − 4ac:
Diskriminante
Anzahl der Lösungen in ℝ
D > 0
zwei verschiedene Lösungen
D = 0
eine (doppelte) Lösung
D < 0
keine Lösung
Beispiel 1
Wie viele Lösungen hat die Gleichung 2x² − 3x − 4 = 0?
D = (−3)² − 4 · 2 · (−4) = 9 + 32 = 41 > 0. Die Gleichung hat zwei Lösungen.
💡 Haben a und c verschiedene Vorzeichen (wie hier 2 und −4), dann ist das Produkt −4ac positiv und D sicher positiv. Eine solche Gleichung hat immer zwei Lösungen.
Beispiel 2
Wie viele Lösungen hat die Gleichung 4x² − 12x + 9 = 0?
D = (−12)² − 4 · 4 · 9 = 144 − 144 = 0. Die Gleichung hat eine Lösung. Tatsächlich: 4x² − 12x + 9 = (2x − 3)², die Lösung ist x = 3/2.
Was das am Graphen bedeutet
Die Lösungen der Gleichung ax² + bx + c = 0 sind die Nullstellen der Funktion y = ax² + bx + c, also die Stellen, an denen ihr Graph (eine Parabel) die x-Achse schneidet.
D > 0: Die Parabel schneidet die x-Achse in zwei Punkten.
D = 0: Die Parabel berührt die x-Achse nur mit ihrem Scheitel.
D < 0: Die Parabel liegt ganz oberhalb der x-Achse (oder ganz darunter).
Was ist ein Parameter
In der Gleichung x² + mx + 9 = 0 ist x die Unbekannte und der Buchstabe m ein Parameter — eine Zahl, die wir noch nicht kennen. Für m können wir eine beliebige Zahl einsetzen und erhalten eine konkrete Gleichung:
m = 10: x² + 10x + 9 = 0, D = 100 − 36 = 64 > 0, zwei Lösungen,
m = 6: x² + 6x + 9 = 0, D = 36 − 36 = 0, eine Lösung,
m = 2: x² + 2x + 9 = 0, D = 4 − 36 = −32 < 0, keine Lösung.
Die Frage lautet: Für welche m hat die Gleichung eine bestimmte Anzahl von Lösungen? Wir berechnen die Diskriminante mit dem Buchstaben m und lösen die Bedingung.
Wann hat die Gleichung eine doppelte Lösung
Eine doppelte Lösung bedeutet D = 0.
Beispiel 3
Für welche m hat die Gleichung x² + mx + 9 = 0 eine doppelte Lösung?
a = 1, b = m, c = 9.
D = m² − 4 · 1 · 9 = m² − 36.
D = 0: m² − 36 = 0, m² = 36.
m = 6 oder m = −6.
Probe für m = 6: x² + 6x + 9 = (x + 3)², einzige Lösung x = −3 ✓.
Beispiel 4
Für welche m hat die Gleichung x² − 6x + m = 0 eine doppelte Lösung?
D = (−6)² − 4 · 1 · m = 36 − 4m.
36 − 4m = 0, also m = 9.
Beispiel 5 — Parameter vor x²
Für welche m hat die Gleichung mx² − 4x + 1 = 0 eine doppelte Lösung?
Achtung: Für m = 0 lautet die Gleichung −4x + 1 = 0. Das ist eine lineare Gleichung, keine quadratische. Deshalb m ≠ 0.
D = (−4)² − 4 · m · 1 = 16 − 4m.
16 − 4m = 0, also m = 4.
Probe: 4x² − 4x + 1 = (2x − 1)², einzige Lösung x = 1/2 ✓.
Beispiel 6 — Parameter in der Klammer
Für welche m hat die Gleichung x² + (m − 1)x + 4 = 0 eine doppelte Lösung?
b = m − 1, also D = (m − 1)² − 16.
(m − 1)² = 16, also m − 1 = 4 oder m − 1 = −4.
m = 5 oder m = −3.
Wann hat die Gleichung zwei oder keine Lösungen
Statt der Gleichung D = 0 lösen wir eine Ungleichung.
Beispiel 7
Für welche m hat die Gleichung x² − 6x + m = 0 zwei verschiedene Lösungen?
D = 36 − 4m.
D > 0: 36 − 4m > 0, also 36 > 4m, m < 9.
Keine Lösung hat sie für D < 0, also für m > 9. Für m = 9 hat sie eine Lösung (Beispiel 4).
Häufige Fehler
Den zweiten Wert vergessen. Aus m² = 36 folgt m = 6 und m = −6.
Parameter vor x². Steht m vor x², prüfe, ob m = 0 eine lineare Gleichung ergibt — diesen Wert schließt du aus.
D = 0 und D > 0 verwechseln. „Genau eine Lösung“ heißt D = 0, „zwei Lösungen“ heißt D > 0.
Falsches b. In der Gleichung x² + (m − 1)x + 4 = 0 ist b der ganze Ausdruck (m − 1), also b² = (m − 1)².
Kurz gesagt
Über die Anzahl der Lösungen entscheidet das Vorzeichen der Diskriminante D = b² − 4ac.
Ein Parameter ist ein Buchstabe, für den wir eine beliebige Zahl einsetzen können.
Doppelte Lösung: Löse die Gleichung D = 0.
Zwei Lösungen: D > 0, keine Lösung: D < 0.
Steht der Parameter vor x², schließe den Wert aus, bei dem x² verschwinden würde.
Probier es selbst
Wie viele Lösungen hat die Gleichung 2x² − 3x + 5 = 0?
Wie viele Lösungen hat die Gleichung 4x² − 20x + 25 = 0?
Für welche m hat die Gleichung x² + mx + 16 = 0 eine doppelte Lösung?
Für welche m hat die Gleichung 2x² + 8x + m = 0 eine doppelte Lösung?
Für welche m hat die Gleichung x² + 4x + m = 0 zwei verschiedene Lösungen?
