Äquivalente Gleichungen

Inhalt

Was sind äquivalente Gleichungen?
Regeln zum Erstellen äquivalenter Gleichungen
Visuelle Beispiele
Übungsaufgaben
Interaktive Übungen

1. Was sind äquivalente Gleichungen?

Äquivalente Gleichungen sind Gleichungen, die dieselbe(n) Lösung(en) haben.

Wenn $x = 3$ Gleichung A erfüllt und $x = 3$ auch Gleichung B erfüllt, dann sind A und B äquivalent.

Beispiel

Diese drei Gleichungen sind alle äquivalent (sie haben alle $x = 5$ als Lösung):

Gleichung	Überprüfung
$x + 2 = 7$	$5 + 2 = 7 ✓$
$x = 7 - 2$	$x = 5 ✓$
$2 x = 10$	$2 (5) = 10 ✓$

2. Regeln zum Erstellen äquivalenter Gleichungen

Das Balanceprinzip gibt uns diese Regeln:

Regel 1: Addiere dieselbe Zahl zu beiden Seiten

x - 3 = 7 \Leftrightarrow x - 3 + 3 = 7 + 3 \Leftrightarrow x = 10

Regel 2: Subtrahiere dieselbe Zahl von beiden Seiten

x + 5 = 12 \Leftrightarrow x + 5 - 5 = 12 - 5 \Leftrightarrow x = 7

Regel 3: Multipliziere beide Seiten mit derselben Zahl

x /2 = 6 \Leftrightarrow x /2 \times 2 = 6 \times 2 \Leftrightarrow x = 12

Regel 4: Dividiere beide Seiten durch dieselbe Zahl (nicht Null)

3 x = 15 \Leftrightarrow 3 x /3 = 15/3 \Leftrightarrow x = 5

Regel 5: Seiten tauschen (reflexive Eigenschaft)

x + 2 = 7 \Leftrightarrow 7 = x + 2

3. Visuelle Beispiele

Transformationskette

Beginnend mit: $x + 4 = 12$

Schritt 1: x + 4 = 12
Schritt 2: x = 12 - 4    (subtrahiere 4 von beiden Seiten)
Schritt 3: x = 8         (berechne)

Jeder Schritt erzeugt eine äquivalente Gleichung.

Mehrfache Transformationen

Beginnend mit: $2 x + 3 = 11$

Schritt 1: 2x + 3 = 11
Schritt 2: 2x = 11 - 3      (subtrahiere 3 von beiden Seiten)
Schritt 3: 2x = 8           (berechne)
Schritt 4: x = 8/2          (dividiere beide Seiten durch 2)
Schritt 5: x = 4            (berechne)

Alle Gleichungen in dieser Kette sind äquivalent!

4. Übungsaufgaben

Aufgabe 1

Welche Gleichung ist äquivalent zu $x + 6 = 14$ ?

A) $x = 14 + 6$
B) $x = 14 - 6$
C) $x = 14 \times 6$
D) $x = 14 \div 6$

Antwort: B (

x = 14 - 6 = 8

)

Aufgabe 2

Welche Transformation von $3 x = 21$ ergibt eine äquivalente Gleichung?

A) 3 zu beiden Seiten addieren
B) 3 von beiden Seiten subtrahieren
C) Beide Seiten durch 3 dividieren
D) Beide Seiten mit 3 multiplizieren

Antwort: C (

x = 7

)

5. Interaktive Übungen

Testen Sie Ihr Verständnis von äquivalenten Gleichungen:

Quiz zu äquivalenten Gleichungen - Multiple-Choice-Identifikation

Äquivalente Gleichungen - Gleiche Lösung, andere Form