Äquivalente Gleichungen

Inhalt

1. Was sind äquivalente Gleichungen?
2. Regeln zum Erstellen äquivalenter Gleichungen
3. Visuelle Beispiele
4. Übungsaufgaben
5. Interaktive Übungen

---

1. Was sind äquivalente Gleichungen?

Äquivalente Gleichungen sind Gleichungen, die dieselbe(n) Lösung(en) haben.

Wenn $x=3$ Gleichung A erfüllt und $x=3$ auch Gleichung B erfüllt, dann sind A und B äquivalent.

Beispiel

Diese drei Gleichungen sind alle äquivalent (sie haben alle $x=5$ als Lösung):

Gleichung	Überprüfung
$x+2=7$	$5+2=7✓$
$x=7-2$	$x=5✓$
$2x=10$	$2(5)=10✓$

---

2. Regeln zum Erstellen äquivalenter Gleichungen

Das Balanceprinzip gibt uns diese Regeln:

Regel 1: Addiere dieselbe Zahl zu beiden Seiten

$$x-3=7\iff x-3+3=7+3\iff x=10$$

Regel 2: Subtrahiere dieselbe Zahl von beiden Seiten

$$x+5=12\iff x+5-5=12-5\iff x=7$$

Regel 3: Multipliziere beide Seiten mit derselben Zahl

$$x/2=6\iff x/2\times 2=6\times 2\iff x=12$$

Regel 4: Dividiere beide Seiten durch dieselbe Zahl (nicht Null)

$$3x=15\iff 3x/3=15/3\iff x=5$$

Regel 5: Seiten tauschen (reflexive Eigenschaft)

$$x+2=7\iff 7=x+2$$

---

3. Visuelle Beispiele

Transformationskette

Beginnend mit: $x+4=12$

```

Schritt 1: x + 4 = 12

Schritt 2: x = 12 - 4 (subtrahiere 4 von beiden Seiten)

Schritt 3: x = 8 (berechne)

```

Jeder Schritt erzeugt eine äquivalente Gleichung.

Mehrfache Transformationen

Beginnend mit: $2x+3=11$

```

Schritt 1: 2x + 3 = 11

Schritt 2: 2x = 11 - 3 (subtrahiere 3 von beiden Seiten)

Schritt 3: 2x = 8 (berechne)

Schritt 4: x = 8/2 (dividiere beide Seiten durch 2)

Schritt 5: x = 4 (berechne)

```

Alle Gleichungen in dieser Kette sind äquivalent!

---

4. Übungsaufgaben

Aufgabe 1

Welche Gleichung ist äquivalent zu $x+6=14$?

• A) $x=14+6$
• B) $x=14-6$
• C) $x=14\times 6$
• D) $x=14÷6$

Antwort: B ($x=14-6=8$)

Aufgabe 2

Welche Transformation von $3x=21$ ergibt eine äquivalente Gleichung?

• A) 3 zu beiden Seiten addieren
• B) 3 von beiden Seiten subtrahieren
• C) Beide Seiten durch 3 dividieren
• D) Beide Seiten mit 3 multiplizieren

Antwort: C ($x=7$)

---

5. Interaktive Übungen

Testen Sie Ihr Verständnis von äquivalenten Gleichungen:

• Quiz zu äquivalenten Gleichungen - Multiple-Choice-Identifikation

---

Verwandte Artikel

• Umfassender Leitfaden - Vollständiger Lösungsprozess
• Einfache Gleichungen - Grundlegende Lösungstechniken