Spezialfälle: Anzahl der Lösungen

Inhalt

1. Drei Möglichkeiten
2. Eine Lösung
3. Keine Lösung
4. Unendlich viele Lösungen
5. Wie man jeden Fall identifiziert
6. Interaktive Übungen

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1. Drei Möglichkeiten

Beim Lösen einer linearen Gleichung passiert genau eines davon:

Fall	Was es bedeutet
Eine Lösung	Die Gleichung hat genau eine Antwort
Keine Lösung	Die Gleichung hat keine Antwort
Unendlich viele Lösungen	Jede Zahl funktioniert als Antwort

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2. Eine Lösung

Dies ist der "normale" Fall.

Allgemeine Form: $ax=b$ wobei $a\ne 0$

Beispiel

Lösen Sie: $2x+3=11$

```

Schritt 1: 2x = 11 - 3 = 8

Schritt 2: x = 8/2 = 4

```

Die Gleichung hat genau eine Lösung: $x=4$.

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3. Keine Lösung

Dies passiert, wenn die Lösung zu einer falschen Aussage führt.

Allgemeine Form: $0x=b$ wobei $b\ne 0$

Beispiel

Lösen Sie: $x+2=x+5$

```

Schritt 1: Subtrahiere x von beiden Seiten

x - x + 2 = x - x + 5

Schritt 2: Vereinfachen

2 = 5 ❌ FALSCH!

```

Diese Gleichung hat keine Lösung.

Warum?

Die linke Seite wird immer um 2 größer sein als die rechte Seite, egal was $x$ ist.

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4. Unendlich viele Lösungen

Dies passiert, wenn die Lösung zu einer wahren Aussage führt.

Allgemeine Form: $0x=0$

Beispiel

Lösen Sie: $2x+4=2(x+2)$

```

Schritt 1: Erweitere rechte Seite

2x + 4 = 2x + 4

Schritt 2: Subtrahiere 2x von beiden Seiten

4 = 4 ✓ WAHR!

```

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen (jedes $x$ funktioniert).

Warum?

$2(x+2)$ ist immer gleich $2x+4$, egal was $x$ ist.

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5. Wie man jeden Fall identifiziert

Nach dem Vereinfachen schauen Sie, was übrig bleibt:

Vereinfachte Form	Anzahl der Lösungen
$x=\text{eine Zahl}$	Eine Lösung
$\text{Zahl}=\text{andere Zahl}$	Keine Lösung
$\text{Zahl}=\text{dieselbe Zahl}$	Unendlich viele Lösungen

Schnelle Referenz

```

Gleichung sieht aus wie... Ergebnis:

x = 5 EINE LÖSUNG

3 = 7 KEINE LÖSUNG

8 = 8 UNENDLICHE LÖSUNGEN

```

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Interaktive Übungen

• Lösungen zählen - Üben Sie die Identifikation der Anzahl der Lösungen

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