Lineare Gleichungen mit Brüchen

Inhalt

1. Gleichungen mit Brüchen
2. Unbekannte im Zähler
3. Unbekannte im Nenner
4. Brüche früh entfernen
5. Beispiele

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1. Gleichungen mit Brüchen

Brüche in Gleichungen können einschüchternd aussehen, aber dasselbe Balanceprinzip gilt.

Beispiel mit Brüchen

$$\frac{x}{3}+5=12$$

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2. Unbekannte im Zähler

Dies ist der Standardfall: $\frac{x}{a}=b$

Formel: Multiplizieren Sie beide Seiten mit $a$

Beispiel

Lösen Sie: $\frac{x}{4}=7$

Schritt 1: Multiplizieren Sie beide Seiten mit 4

$$\frac{x}{4}\times 4=7\times 4$$

Schritt 2: Berechnen Sie

$$x=28$$

Schritt 3: Überprüfen Sie

$$\frac{28}{4}=7✓$$

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3. Unbekannte im Nenner

Wenn $x$ im Nenner ist, müssen wir vorsichtig sein.

Beispiel

Lösen Sie: $\frac{6}{x}=2$

Schritt 1: Multiplizieren Sie beide Seiten mit $x$

$$\frac{6}{x}\times x=2\times x$$
$$6=2x$$

Schritt 2: Dividieren Sie beide Seiten durch 2

$$x=3$$

Schritt 3: Überprüfen Sie (denken Sie daran: nie durch Null dividieren!)

$$\frac{6}{3}=2✓$$

Wichtig: $x\ne 0$ da wir nicht durch Null dividieren können!

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4. Brüche früh entfernen

Eine hilfreiche Technik ist, die gesamte Gleichung mit dem Nenner zu multiplizieren, um nicht mit Brüchen arbeiten zu müssen.

Beispiel

Lösen Sie: $\frac{x+2}{3}=5$

Methode 1: Direkter Ansatz

$$\frac{x+2}{3}=5\Rightarrow x+2=15\Rightarrow x=13$$

Methode 2: Brüche zuerst entfernen

$$\frac{x+2}{3}=5\Rightarrow (x+2)=5\times 3=15\Rightarrow x=13$$

Beide Methoden funktionieren! Methode 2 ist oft sauberer.

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5. Beispiele

Beispiel 1: Unbekannte im Zähler

Lösen Sie: $\frac{2x}{3}=8$

```

Schritt 1: Multipliziere beide Seiten mit 3

2x = 24

Schritt 2: Dividiere beide Seiten durch 2

x = 12

```

Überprüfung: $\frac{2\times 12}{3}=\frac{24}{3}=8✓$

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Beispiel 2: Unbekannte im Nenner

Lösen Sie: $\frac{12}{x}=4$

```

Schritt 1: Multipliziere beide Seiten mit x

12 = 4x

Schritt 2: Dividiere beide Seiten durch 4

x = 3

```

Überprüfung: $\frac{12}{3}=4✓$

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Beispiel 3: Komplexe Brüche

Lösen Sie: $\frac{x+5}{2}=7$

```

Schritt 1: Multipliziere beide Seiten mit 2

x + 5 = 14

Schritt 2: Subtrahiere 5 von beiden Seiten

x = 9

```

Überprüfung: $\frac{9+5}{2}=\frac{14}{2}=7✓$

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Zusammenfassung

Situation	Methode
$\frac{x}{a}=b$	Multipliziere beide Seiten mit $a$: $x=ab$
$\frac{a}{x}=b$	Multipliziere beide Seiten mit $x$, dann dividiere: $x=a/b$
$\frac{ax}{b}=c$	Multipliziere mit $b$, dann dividiere durch $a$: $x=bc/a$

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Interaktive Übungen

• Brüche mit Unbekannter im Zähler
• Brüche mit Unbekannter im Nenner
• Beide Seiten mit Brüchen

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